Égalité de Parseval et application au calcul de zêta(2) et zêta(4)

Théorème : On suppose que H est somme hilbertienne des (E_n)_(n∈ℕ). Soit u∈H et soit u_n=P_(E_n)u. Alors on a : a)u=sum_(n=1)^(+∞)u_n c'est-à-dire u=lim_(k→+∞)sum_(n=1)^ku_n. b)‖u‖^2=sum_(n=1)^(+∞)​u_n‖^2 (égalité de Parseval). Réciproquement, étant donné une suite (u_n)_(n∈ℕ) de H telle que ∀n∈ℕ,u_n∈E_n et sum_(n=1)^(+∞)‖u_n‖^2<+∞, alors la série sum_nu_n est convergente et u=sum_(n=1)^(+∞)u_n vérifie ∀n∈ℕ,P_(E_n)u=u_n. Application. ζ(2)=(π^2)/6 et ζ(4)=(π^4)/90. L'énoncé en LaTeX est dans la première version