243 - Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
I) Développement A) Déroulement du développement: Plutôt bon dans l'ensemble. J'ai pris le temps de poser la structure de mon plan, et j'ai fini en 15 minutes. Les questions sur mon développements ont cependant joué en ma défaveur, car je ne voyais pas ce qu'ils cherchaient à me montrer. B) Questions sur le développement: 1) Lors de votre développement vous dîtes à la fin que vous obtenez Holom(U)=Analyt(U). Quelle inclusion avait vous réellement montré ? Et pouvez vous montrer l'autre inclusion ? (✔️) 2) -Au début du développement, comment jusitfiez vous que : ∫(f(x)-f(t))/t dt = ∫f(x)/t dt - ∫f(t)/t dt ? - Par linéarité de l'intégrale -Mais encore ? -... -Quel argument devait vous utiliser pour avoir cette égalité ? -Que mes fonctions doivent être intégrables ... -Oui, pouvez vous l'écrire ? -.. Par Minkowski pour f,g € L^1 on a ||f+g||_1 ≤ ||f||_1 + ||g||_1 .. -Oui et ... ? (Flou je ne comprenais ce qu'ils cherchaient. En réalité, en prenant un contre exemple clair on comprend mieux le problème ciblé. On a ∫_[0,1] 0 dt = ∫_[0,1] 1/t - 1/t dt = ∫_[0,1] 1/t dt - ∫_[0,1] 1/t dt ............. Et maintenant le problème saute aux yeux) 3) Problème dans le développement: Ma majoration pour montrer que ma série CVN ! Il faut bien exhiber sa constante qui majore les termes de la somme pour tout x€E ! Quitte à majorer grossièrement par le sup, tant que c'est bien défini, et que ceux sont les termes positifs d'une série qui CV ! II) Questions cours 1) Rectification du plan: le r.d.c de la somme Σ_n 0=0 est R=+∞ ! 2) Pourquoi exp: (C,+) --> (C*,x) n'est elle pas injective ? Trouver un espace dans lequel cette fonction devient injective (et donc bijective!) (Montrer que Ker(exp)=2iπZ, et considérer C/2iπZ) 3) Soit la S.E, Σ_n (a_n . z^n) de r.d.c R. Trouver le r.d.c de la S.E Σ_n (a_n/n! . z^n) (Attention! Piège, d'Alembert ne fonctionne pas ici! On doit repasser par la définition du r.d.c et donc passer par le Lemme d'Abel)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un jury a été muet tout le long. Un autre a été très pointilleux, je ne sais pas si il cherchait à me piéger/bloquer, où si il voulait que je réfléchisse par moi même pour mieux comprendre, et que ça s'incruste. Le dernier a été très bienveillant. Il testait mes connaissances tout en me guidant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Dév : bien passé, ils m'ont fait corrigé une erreur de signe (lors de la transformation d'Abel) et précisé quelques points. Mon application était la convergence d'une série altérnée vers pi/4 en passant par l'arctangente. Q : Êtes-vous sûr pour votre DSE de arctan ? (puissance 2n au lieu de 2n+1 , je m'empresse (erreur) de remplacer 2n par n ) Q : La fonction arctan est ? R: impaire Q : Et remplacer 2n par n la rend impaire ? R: *je remplace n par 2n+1* Q : On va remontrer que c'est bien le DSE de arctan. Dérivez le DSE donné. R : Je dérive terme à terme sur l'intervalle de convergence ]-1,1[, j'obtiens bien 1/(1+x^2) = arctan'(x) Q : Comment concluez-vous ? Que vaut arctan en 0 ? Quel est le premier terme du développement ? R : les deux fonctions ont même dérivée et coïncident en un point Q: Lequel ? R: 0 Q : Dans le théorème d'Abel, si on suppose le terme général (a_n)_n positif, que peut-on dire ? R : Je tente de le faire par le théorème de convergence monotone, avec comme fonctions positives les suites (a_nx^n)_n , mesurables pour la mesure de comptage, en voyant la somme de la série comme intégrale de ces fonctions pour cette mesure ; fonctions qui tendent chacune en croissant avec le paramètre x>0 quand x->1 vers la suite (a_n)_n dont l'intégrale est la somme . *je me retourne, vois le jury froncer les sourcils, et crois entendre un \"inutilement compliqué\" qui s'échappe de leurs messes basses* Q : Pouvez-vous donner le théorème de convergence monotone et expliquer comment vous l'utiliser ? R : Je donne le théorème, et je dis que je ne peux l'appliquer tel quel car il s'applique à une suite de fonctions (et pas à une famille de fonctions dépendant d'un paramètre continu, ici les suites ( (a_nx_n)n )_x dépendant de x>0 ) Q : Adaptez la situation. R : je remplace x -> 1 par une suite x_m -> 1 Q : ok, comment concluez-vous ? R : *j'hésite , je ne suis plus sûr si c'est suffisant, je réécris en termes simples ce que ça veut dire* jury : oui c'est simplement une caractérisation de la convergence [caractérisation en question : si f fonction et pour toute suite x_m -> 1 : f(x_m) -> S alors f(x) -> S quand x-> 1] Q : Vous donnez un exemple de deux séries de rayon de convergence fini dont le produit de Cauchy est de rayon infini, avez-vous fait le calcul ? [Spoiler non] [contre-exemple du Hauchecorne] R : Je l'ai fait il y a longtemps, *je refais le calcul, je m'embrouille, stresse, m'empresse et finis par écrire n'importe quoi* Q : Gardez votre calme et reprenez votre ligne R : *je m'empresse de barrer les énormités, j'arrive à conclure laborieusement avec l'aide du jury* Q : La fonction obtenue par le produit de Cauchy, elle est ? R : constante Q : Vous donnez un exemple de série entière de rayon 1 qui converge en -1 et diverge en 1 [série des (-1)^nz^n ]; savez-vous ce qui se passe ailleurs sur le disque ? R : comme ça je ne sais pas, *j'écris la série pour e^it sur le cercle unité, donc série des e^itn / n* Q : Si vous l'écrivez en partie réelle et imaginaire (*m'empresse de le faire* [série des cos nt / n]), savez-vous des choses sur ces suites ? Ou à propos du critère d'Abel ? Le jury essaye de me faire utiliser le critère d'Abel que je ne connais pas, j'hésite à improviser un énoncé venant d'un souvenir vague et lointain mais j'y renonce. Le jury essaye de me refaire faire des transformations d'Abel sur cette série (en me rappelant que j'en ai faite une dans mon dév) mais le temps ne me laisse pas aller plus loin. Dernière micro-question : comment justifier la proposition donnant la dérivée (terme à terme) d'une somme d'une SE ? R : la série entière des dérivées terme à terme à même rayon de convergence, donc converge normalement sur tout disque fermé inclus dans le disque de CV de la série de départ, donc un théorème sur les séries de fonctions permet de conclure. jury : ok Résumé : Beaucoup d'étourderies, à commencer par l'oubli de la convocation en salle de préparation (petit aller retour de 3étages en guise d'échauffement), je n'ai pas pris bien le temps de bien relire mon plan donc je n'ai pas repassé quelques passages écrits au crayon, et j'ai oublié de donner un titre à la partie I (je l'ai donné dans la défense), oubli de signer le petit papier rose... Conclusion : Bien prendre 5 minutes pour relire le plan; peut-être avant de préparer son speech (ce qu'on peut faire y compris après avoir rendu le plan pendant les photocopies, mais sans les bouquins et je crois sans stylo). Content pour mon dév que j'ai bien présenté, un peu moins pour les questions.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très bienveillant et m'a rassuré a plusieurs moments.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Ce retour concerne la session de 2021. Ce tirage était exactement le pire tirage possible dans mon cas. J'avais naturellement fait l'impasse sur les équa diff et en plus de ça, je n'ai pas pu préparer ces deux leçons que j'ai tirées. N'importe quoi d'autre m'aurait convenu, mais on a pas toujours ce qu'on veut j'imagine. J'ai dû improviser l'un des deux développements et le jury a choisi celui-là (évidemment, sinon c'est pas drôle). J'ai fait un plan très simple en deux parties : d'abord les propriétés des séries entières (définition + CV, régularité, unicité des coefficients ... bref, les trucs de base) puis une deuxième partie sur deux applications : mes développements. Malgré le fait que j'ai découvert le développement 30 minutes avant de le présenter, j'ai pu le défendre à une erreur de calcul près. Le jury m'a fait corriger cette erreur par la suite. Voilà les questions qui m'ont été posées : - Le lemme d'Abel concernant les séries entières à coefficients positifs marche-t-il toujours si on ne suppose plus la positivité des coefficients ? (Si seulement) - Et si on suppose $f$ développable en série entière, de rayon de convergence 1, tq $\sum_n a_n$ converge, est-ce que $f$ admet une limite en $1$ et si oui, quelle est-elle ? (Y a pas de piège) - Enoncer la formule de Taylor-Lagrange. - Expliciter un exemple de mon plan (on le trouve dans Hauchecorne au chapitre séries entières : deux séries entières de rayon de convergence fini dont le produit est de rayon infini) - Soit $(a_n)$ une suite réelle tq la série de terme général $a_n^2$ converge. Pour $t$ dans $\left[-1/2,1/2 \right]$ on pose $f(t) = \sum_n \frac{a_n}{n-t}$. La fonction $f$ est-elle définie et est-elle développable en série entière en 0 ? (30 secondes après que la question m'a été posée, une autre membre du jury a dit \"on va s'arrêter là, il n'y a plus de temps\" donc je n'ai pas eu l'occasion de dire grand chose sur le sujet)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était assez neutre. Une des membres souriait de temps en temps (en tout cas ses yeux souriaient, sinon elle portait un masque. Covid, tout ça).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas grand chose à dire sur la préparation si ce n'est qu'elle dure 2h45. C'est peut-être un peu bête mais je le dis quand même : préparez-vous à différents types de tableaux. On m'avait dit que les tableaux aux oraux risquaient d'être tout petits et je me suis préparé en conséquence. Il se trouve que le tableau que j'ai eu était d'une taille tout à fait raisonnable. Il était peut-être un peu haut cela dit. En dehors de ça, je ne souhaite à personne de vivre ce moment où vous réalisez que vous n'avez préparé aucune des deux leçons tirées. Ceci dit, si ça vous arrive, essayez de ne pas paniquer : vous devriez connaître quelques références sur le sujet. Faites un plan simple, mettez les bases (le rapport du jury aide pour ça), mettez vos développements et c'est déjà pas mal. Il s'agissait de mon premier oral. Autant dire que j'en suis sorti extrêmement dépité. Même si j'avais su répondre aux questions et que je maîtrisais un minimum le sujet, je m'attendais à avoir une très sale note. J'ai été agréablement surpris. Conclusion : même si vous pensez avoir foiré, persévérez !

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
— Un membre du jury m'a posé une question sur développement, relative à un théorème d'interversion limite simple/série, il y avait des histoires de convergences uniformes. — Ensuite, ils sont passés aux questions. On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre. — Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite. Le couplage que j'ai pioché était loin d'être très favorable pour moi, donc j'ai utilisé principalement le Gourdon pour mon plan, et ça a abouti à un plan modeste, et donc des questions de niveau modeste également.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très apaisant et bienveillant, même si j'ai été très laborieux à de nombreuses reprises. Ils sont peu intervenus dans mes phases de recherche, mais m'ont pas mal guidé lorsque je faisais des calculs — et ils m'ont un peu moqué quand j'ai dit que le sin(0) = 1…

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
RAS

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- sur le développement, on m'a demandé de trouver une CNS sur les coefficients du développement en série entière de f autour de 0 pour que f soit dans l'espace de Bergman (réponse : si $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$, la CNS est $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} n|a_n|^2 <+\infty$) - une série entière de rayon de convergence 1 converge-t-elle uniformément sur tout le disque ? (c'est possible, cf $\sum \frac{z^n}{n^2}$, mais pas vrai en général, cf $\sum z^n$) - dans le thème de cette question, on m'a demandé de déterminer les $z$ de module 1 tels que $\sum \frac{z^n}{n}$ converge (faire une transformation d'Abel) - quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{cos n}{n!}\right) z^n$ ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était sympa mais insistant quand je ne trouvais pas, ils aidaient pas mal.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai eue des questions sur le plan (notamment sur des propositions fausses que j'ai corrigé à l'oral) et sur la convergence de mes contre exemples de séries qui convergeaient ou non sur leur disque de convergence (trouvé dans le Hauchecorne)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Plutôt pas content mais pas méchants. Le jury a pas du tout apprécié l'exemple du Gourdon d'utilisation du théorème d'Abel car il y a plus simple que ça pour le résoudre (et il me l'on demandé en questions). Aussi, du au stress j'ai mal définis les Ek dès le début de mon développement donc ils m'ont arrété (et redemandé une définition plus rigoureuse en nommant mes partitions à la fin du développement). Aussi, ça a perturbé le jury que mes indices k et n soient inversés àla fin de ma preuve par rapport à l'énoncé.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Mon développement à duré trop longtemps (17 min avec leur intervention) mais ils me l'on dit et m'ont laisser quand même conclure (donc c'est cool, ils étaient pas à la minute près). Sinon c'est long 20 min de questions, ça ressemble beaucoup aux oraux de concours je trouve. PS: j'ai pas encore ma note (je pense que ça se voit)

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Que exercices sur le plan. Une variable aléatoire discrète admettant des moments à tout ordre est-elle caractérisée par ses moments? (en rapport avec les séries génératrices) Calculer $\sum_{1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n}$ Si f est DSE en 0 avec un RCV de 1, est-elle DSE en 1/2? Quel est le RCV? Connaissez-vous une autre démonstration du théorème de d'Alembert que celle à partir du théorème de Liouville? (avec des outils plus simples)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.