142 - PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications. 2026

Rapport du jury 2024

Le candidat doit prendre soin de différencier le cadre théorique des anneaux factoriels ou principaux dans lequel sont définis les PGCD et PPCM et dans lequel s'appliquent les énoncés des théorèmes proposés et le cadre euclidien fournissant les algorithmes. Le champ d'étude de cette leçon ne peut se limiter au cas de Z, mais la leçon peut opportunément s'illustrer d'exemples élémentaires d'anneaux euclidiens, comme Z et $K[X]$. Une part substantielle de la leçon doit être consacrée à la présentation d'algorithmes : algorithme d'Euclide, algorithme binaire, algorithme d'Euclide étendu. Il est possible d'en évaluer le nombre d'étapes dans les pires cas et faire le lien avec les suites de Fibonacci. Des applications élémentaires sont particulièrement bienvenues : calcul de relations de Bezout, ré- solutions d'équations diophantiennes linéaires, inversion modulo un entier ou un polynôme, calculs d'inverses dans les corps de rupture, les corps finis. On peut aussi évoquer le théorème chinois effectif, la résolution d'un système de congruences et faire le lien avec l'interpolation de Lagrange. Pour aller plus loin, on peut évoquer le rôle de algorithme d'Euclide étendu dans de nombreux al- gorithmes classiques en arithmétique (factorisation d'entiers, de polynômes, etc). Décrire l'approche matricielle de l'algorithme d'Euclide et l'action de $SL_2(Z)$ sur $Z^2$ est tout à fait pertinent. On peut aussi établir l'existence d'un supplémentaire d'une droite dans $Z^2$, ou d'un hyperplan de $Z^n$, examiner l'éventuelle possibilité de compléter un vecteur de $Z^n$ en une base. On peut aussi étudier les matrices à coefficients dans un anneau principal ou euclidien, et, de manière plus avancée, la forme normale d'Hermite et son application à la résolution d'un système d'équations diophantiennes linéaires. De même, aborder la forme normale de Smith, et son application au théorème de la base adaptée, permet de faire le lien avec la réduction des endomorphismes via le théorème des invariants de similitude. La leçon invite aussi, pour des candidates et candidats maîtrisant ces notions, à décrire le calcul de PGCD dans $Z[X]$ et $K[X,Y]$, avec des applications à l'élimination de variables. On peut rappeler les relations entre PGCD et résultant et montrer comment obtenir le PGCD en échelonnant la matrice de Sylvester. Sur l'approximation diophantienne, on peut enfin envisager le développement d'un rationnel en fraction continue et l'obtention d'une approximation de Padé-Hermite à l'aide de l'algorithme d'Euclide, la recherche d'une relation de récurrence linéaire dans une suite ou le décodage des codes BCH.

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Rapport du jury 2024

Rapport du jury 2022

Le champ d'étude de cette leçon ne peut se limiter au cas de Z ; il s'agit de définir et manipuler les notions de PGCD et PPCM dans un anneau factoriel et comme générateurs de sommes/intersections d'idéaux dans un anneau principal. Le candidat doit prendre soin de différencier le cadre théorique des anneaux factoriels ou principaux dans lequel sont définis les objets et dans lequel s'appliquent les énoncés des théorèmes proposés et le cadre euclidien fournissant les algorithmes. Bien sûr, la leçon peut opportunément s'illustrer d'exemples élémentaires d'anneaux euclidiens, comme Z et $K[x]$. Une part substantielle de la leçon doit être consacrée à la présentation d'algorithmes : algorithme d'Euclide, algorithme binaire, algorithme d'Euclide étendu. Dans le cas des polynômes, il faut étudier l'évolution de la suite des degrés et des restes. On peut évaluer le nombre d'étapes de ces algorithmes dans les pires cas et faire le lien avec les suites de Fibonacci. Des applications élémentaires sont particulièrement bienvenues : calcul de relations de Bezout, ré- solutions d'équations diophantiennes linéaires, inversion modulo un entier ou un polynôme, calculs d'inverses dans les corps de ruptures, les corps finis. On peut aussi évoquer le théorème chinois effectif, la résolution d'un système de congruences et faire le lien avec l'interpolation de Lagrange. Pour aller plus loin, on peut évoquer le rôle de algorithme d'Euclide étendu dans de nombreux algorithmes classiques en arithmétique (factorisation d'entiers, de polynômes, etc). Décrire l'approche matricielle de l'algorithme d'Euclide et l'action de $SL_2(Z)$ sur $Z^2$ est tout à fait pertinent. On peut aussi établir l'existence d'un supplémentaire d'une droite dans $Z^2$, ou d'un hyperplan de Zn, la possibilité de compléter un vecteur de Zn en une base. La leçon peut amener à étudier les matrices à coefficients dans un anneau principal ou euclidien, et, de manière plus avancée, la forme normale d'Hermite et son application à la résolution d'un système d'équations diophantiennes linéaires. De même, aborder la forme normale de Smith, et son application au théorème de la base adaptée, permet de faire le lien avec la réduction des endomorphismes via le théorème des invariants de similitude. La leçon invite aussi, pour des candidats familiers de ces notions, à décrire le calcul de PGCD dans $Z[X]$ et $K[X,Y]$s, avec des applications à l'élimination de variables. On peut rappeler les relations entre PGCD et résultant et montrer comment obtenir le PGCD en échelonnant la matrice de Sylvester. Sur l'approximation diophantienne, on peut enfin envisager le développement d'un rationnel en fraction continue et l'obtention d'une approximation de Padé-Hermite à l'aide de l'algorithme d'Euclide, la recherche d'une relation de récurrence linéaire dans une suite ou le décodage des codes BCH.

Rapport du jury 2020

Le champ d’étude de cette leçon ne peut se limiter au cas de Z ; il s’agit de définir et manipuler les notions de PGCD et PPCM dans un anneau factoriel et comme générateurs de sommes/intersections d’idéaux dans un anneau principal. Le candidat doit prendre soin de différencier le cadre théorique des anneaux factoriels ou principaux dans lequel sont définis les objets et dans lequel s’appliquent les énoncés des théorèmes proposés et le cadre euclidien fournissant les algorithmes. Bien sûr, la leçon peut opportunément s’illustrer d’exemples élémentaires d’anneaux euclidiens, comme Z et K[X]. $$$$ Une part substantielle de la leçon doit être consacrée à la présentation d’algorithmes : algorithme d’Euclide, algorithme binaire, algorithme d’Euclide étendu. Dans le cas des polynômes, il faut étudier l’évolution de la suite des degrés et des restes. Il est important de savoir évaluer le nombre d’étapes de ces algorithmes dans les pires cas et on peut faire le lien avec les suites de Fibonacci. $$$$ Des applications élémentaires sont particulièrement bienvenues : calcul de relations de Bezout, résolutions d’équations diophantiennes linéaires, inversion modulo un entier ou un polynôme, calculs d’inverses dans les corps de ruptures, les corps finis. On peut aussi évoquer le théorème chinois effectif, la résolution d’un système de congruences et faire le lien avec l’interpolation de Lagrange. $$$$ Pour aller plus loin, on peut évoquer le rôle de l’algorithme d’Euclide étendu dans de nombreux algorithmes classiques en arithmétique (factorisation d’entiers, de polynômes, etc). Décrire l’approche matricielle de l’algorithme d’Euclide et l’action de $SL_2(Z)$ sur $Z^2$ est tout à fait pertinent. On peut aussi établir l’existence d’un supplémentaire d’une droite dans $Z^2$ , ou d’un hyperplan de $Z^n$ , la possibilité de compléter un vecteur de Z n en une base. $$$$ La leçon peut amener à étudier les matrices à coefficients dans un anneau principal ou euclidien, et, de manière plus avancée, la forme normale d’Hermite et son application à la résolution d’un système d’équations diophantiennes linéaires. De même, aborder la forme normale de Smith, et son application au théorème de la base adaptée, permet de faire le lien avec la réduction des endomorphismes via le théorème des invariants de similitude. La leçon invite aussi, pour des candidats familiers de ces notions, à décrire le calcul de PGCD dans Z[X] et $K[X,Y]$, avec des applications à l’élimination de variables. On peut rappeler les relations entre PGCD et résultant et montrer comment obtenir le PGCD en échelonnant la matrice de Sylvester. Sur l’approximation diophantienne, on peut enfin envisager le développement d’un rationnel en fraction continue et l’obtention d’une approximation de Padé-Hermite à l’aide de l’algorithme d’Euclide, la recherche d’une relation de récurrence linéaire dans une suite ou le décodage des codes BCH.

Rapport du jury 2019

Le champ d’étude de cette leçon ne peut se limiter au cas de $\textbf{Z}$ ; il s’agit de définir et manipuler les notions de PGCD et PPCM dans un anneau factoriel et comme générateurs de sommes/intersections d’idéaux dans un anneau principal. Le candidat doit prendre soin de différencier le cadre théorique des anneaux factoriels ou principaux dans lequel sont définis les objets et dans lequel s’appliquent les énoncés des théorèmes proposés et le cadre euclidien fournissant les algorithmes. Bien sûr, la leçon peut opportunément s’illustrer d’exemples élémentaires d’anneaux euclidiens, comme $\textbf{Z}$ et $\textbf{K}[X]$. Une part substantielle de la leçon doit être consacrée à la présentation d’algorithmes : algorithme d’Euclide, algorithme binaire, algorithme d’Euclide étendu. Dans le cas des polynômes, il faut étudier l’évolution de la suite des degrés et des restes. Il est important de savoir évaluer le nombre d’étapes de ces algorithmes dans les pires cas et on peut faire le lien avec les suites de Fibonacci. Des applications élémentaires sont particulièrement bienvenues : calcul de relations de Bezout, résolutions d’équations diophantiennes linéaires, inversion modulo un entier ou un polynôme, calculs d’inverses dans les corps de ruptures, les corps finis. On peut aussi évoquer le théorème chinois effectif, la résolution d’un système de congruences et faire le lien avec l’interpolation de Lagrange. Pour aller plus loin, on peut évoquer le rôle de algorithme d’Euclide étendu dans de nombreux algorithmes classiques en arithmétique (factorisation d’entiers, de polynômes, etc). Décrire l’approche matricielle de l’algorithme d’Euclide et l’action de $SL_2(\textbf{Z})$ sur $\textbf{Z}^2$ est tout à fait pertinent. On peut aussi établir l’existence d’un supplémentaire d’une droite dans $\textbf{Z}^2$, ou d’un hyperplan de $\textbf{Z}^n$, la possibilité de compléter un vecteur de $\textbf{Z}^n$ en une base. La leçon peut amener à étudier les matrices à coefficients dans un anneau principal ou euclidien, et, de manière plus avancée, la forme normale d’Hermite et son application à la résolution d’un système d’équations diophantiennes linéaires. De même, aborder la forme normale de Smith, et son application au théorème de la base adaptée, permet de faire le lien avec la réduction des endomorphismes via le théorème des invariants de similitude. La leçon invite aussi, pour des candidats familiers de ces notions, à décrire le calcul de PGCD dans $\textbf{Z}[X]$ et $\textbf{K}[X,Y]$, avec des applications à l’élimination de variables. On peut rappeler les relations entre PGCD et résultant et montrer comment obtenir le PGCD en échelonnant la matrice de Sylvester. Sur l’approximation diophantienne, on peut enfin envisager le développement d’un rationnel en fraction continue et l’obtention d’une approximation de Padé-Hermite à l’aide de l’algorithme d’Euclide, la recherche d’une relation de récurrence linéaire dans une suite ou le décodage des codes BCH.

Rapport du jury 2018

Il est bien clair que le champ d’étude ne peut se limiter au cas de Z; il s’agit de définir et manipuler les notions de PGCD et PPCM dans un anneau factoriel et comme générateurs de sommes/intersections d’idéaux dans un anneau principal. Le candidat devra prendre soin de différencier le cadre théorique des anneaux factoriels ou principaux dans lequel sont définis les objets et dans lequel s’appliquent les énoncés des théorèmes proposés et le cadre euclidien fournissant les algorithmes. Bien sûr, la leçon peut opportunément s’illustrer d’exemples élémentaires d’anneaux euclidiens, comme $Z$ et $K[X]$. La leçon doit accorder une part substantielle à la présentation d’algorithmes : algorithme d’Euclide, algorithme binaire, algorithme d’Euclide étendu. Dans le cas des polynômes, on étudiera l’évolution de la suite des degrés et des restes. Il est important de savoir évaluer le nombre d’étapes de ces algorithmes dans les pires cas et on pourra faire le lien avec les suites de Fibonacci. La leçon abordera des applications élémentaires : calcul de relations de Bézout, résolutions d’équations diophantiennes linéaires, inversion modulo un entier ou un polynôme, calculs d’inverses dans les corps de ruptures, les corps finis. On peut aussi évoquer le théorème chinois effectif, la résolution d’un système de congruences et faire le lien avec l’interpolation de Lagrange. Pour aller plus loin, on pourra évoquer le rôle de algorithme d’Euclide étendu dans de nombreux algorithmes classique en arithmétique (factorisation d’entiers, de polynômes, etc). Décrire l’approche matricielle de l’algorithme d’Euclide et l’action de $SL_2(Z)$ sur $Z^2$ est tout à fait pertinent. On pourra établir l’existence d’un supplémentaire d’une droite dans $Z^2$, ou d’un hyperplan de $Z^n$, la possibilité de compléter un vecteur de $Z^n$ en une base. La leçon peut amener à étudier les matrices à coefficients dans un anneau principal ou euclidien, la forme normale d’Hermite et son application à la résolution d’un système d’équations diophantiennes linéaires. Aborder la forme normale de Smith, et son application au théorème de la base adaptée, permet de faire le lien avec la réduction des endomorphismes via le théorème des invariants de similitude. La leçon invite aussi, pour des candidats familiers de ces notions, à décrire le calcul de PGCD dans $Z[X]$ et $K[X,Y]$, avec des applications à l’élimination de variables. On pourra rappeler les relations entre PGCD et résultant et montrer comment obtenir le PGCD en échelonnant la matrice de Sylvester. Sur l’approximation diophantienne, on peut enfin envisager le développement d’un rationnel en fraction continue et l’obtention d’une approximation de Padé-Hermite à l’aide de l’algorithme d’Euclide, la recherche d’une relation de récurrence linéaire dans une suite ou le décodage des codes BCH.

Développements

5	Anneaux à PGCD et existence d'un PPCM
5	Eléments sans PGCD ou PPCM dans Z[i.sqrt(5)]
5	Algorithme d'Euclide étendu et complexité
5	Etude du cryptosystème RSA
5	Sous groupes finis de K*
5	Orbites et PGCD des vecteurs de Z et action de GLn(Z)
5	Théorème des restes chinois et application
5	Invariants du groupe symétrique
5	Une version efficace et simple de l'algorithme de Berlekamp
5	Lemme de Kronecker (la preuve à toto !) et lemme de Serre
5	A à pgcd implique A[X] à pgcd
5	Transfert de factorialité de Gauss (A factoriel implique A[X] factoriel)
5	Résolution de l'équation de Fermat dans les cas n=2 ou 4
5	Résultant et majoration des coefficients de Bézout dans Z[x]
5	Systèmes de congruences, cas général
5	Résultant et courbes planes
5	[Doublon : A factoriel implique A[X] factoriel] avec 1530
5	PGCD et matrice de Sylvester.
5	Unicité dans le théorème de structure des groupes abéliens finis
5	Théorème des restes chinois effectif
5	Calcul du résultant par l'algorithme d'Euclide
5	Ordre moyen (espérance) du pgcd
5	Lemme des noyaux, application
4	Lemme des noyaux, codiagonalisabilité, Dunford et application à l'exponentielle de matrice
4	Suites de Sturm
4	Les idéaux premiers de K[X,Y]
4	Résolution d'un système de congruence
4	Théorème chinois et applications
4	Forme normale de Smith
4	Arithmétique dans l'anneau des fonctions entières
4	L'unique entier entre un carré et un cube
4	Système de congruences (cas général)
4	Exposant d'un groupe
4	Générateurs de SL2(Z) et SL2(Z/NZ)
4	Lemme des noyaux - Projecteurs spectraux
4	Équivalence RSA factorisation
4	Théorème de Bézout faible (par le résultant)
3	Un diagramme commutatif magique : idempotents de K[u] et exponentielle de matrices
3	Algorithme de Berlekamp
3	Décodage code cyclique par l'algorithme d'Euclide-Sugiyama
3	Principal implique factoriel
3	Cyclotomie+Dirichlet faible+application aux GAF+Bonus sur Galois inverse
3	Intersection de deux corps cyclotomiques
2	Lemme chinois et lemme des noyaux
1	Théorème de Césaro sur les nombres premiers
1	Théorème de Sophie-Germain
1	Lemme des contenus de Gauss + Polynomes irreductibles de A[X]

Plans

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Utilisateur : C. Bergeron

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Peste pour les uns, choléra pour les autres, cette leçon n'est vraiment pas terrible. Seuls les développements pourront vous sauvez de la monotonie de cette leçon, alors essayez d'en avoir des cools. Plus sérieusement, il est assez difficile de remplir la leçon sur exclusivement des pgcd, soyez donc un peu ouvert, et vous pourrez recaser des petits trucs par ci par là qui pimenteront votre plan. Mes devs : L'unique entier entre un carré et un cube, Forme de Smith'

Références :

Objectif Agrégation

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Carnet de voyage en Algébrie

Algèbre fondamentale - Arithmétique

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Anneaux, corps, résultants

Utilisateur : Xx_MasterPoulet13_xX

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Plan réalisé à l'aide du site et des plans présentés dans ma classe. Certaines parties sont parfois optionnelles et je ne prévoyais de les faire que si j'avais le temps le jour J. '

Références :

Cours d'algèbre\r

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Beluga

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Mes plans sont très inspirés de Mr Syndrome( Mercii à lui !!) Désolée pour les fautes s'il y en a. bon courage :)'

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Utilisateur : Confiture

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Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! Une leçon qui me rebutait vraiment au début mais dans laquelle j'ai fini par trouver mon compte en cherchant à faire très abstrait. Ce plan a été crash-testé en oral blanc, ci dessous je vais essayer de faire le retour le plus complet possible pour que ça serve aux suivant.e.s. A propos du plan lui-même : - j'ai introduit ma défense du plan en justifiant immédiatement le point de vue très abstrait que j'ai décidé d'adopter. C'était une volonté de ma part pour deux raisons : la première, c'est que tous les résultats qui sont présentés par la suite se démontrent exactement de la même façon qu'avec des hypothèses plus fortes, donc on ne perd pas en simplicité ; la seconde, c'est qu'on atteint souvent les hypothèses minimales pour faire fonctionner les choses, et donc les démonstrations des théorèmes deviennent presque évidentes et l'ordre dans lequel ils doivent être démontrés est clair. - le lemme 5 devrait être plus bas car il repose sur le théorème de Gauss (erreur de ma part) - je pense que j'ai choisi des applications qui, dans l'ensemble, sont relativement difficiles (en particulier, je tiens à pointer du doigt l'application 34, qui devrait attirer les questions du jury (en tout cas mon jury m'a posé la question que j'attendais), et la réponse exploite le théorème de réduction de Frobenius, à connaître donc). J'ai aussi fait exprès de jouer avec des anneaux noetheriens, dans la partie Domaine de Bézout mais aussi pour le développement sur Smith (il faut utiliser le fait qu'un anneau principal est noetherien pour traiter le cas principal). Si vous n'êtes pas à l'aise avec ces choses là, mieux vaut se placer dans un cadre euclidien. Questions reçues pendant l'oral (sachant que j'ai présenté Smith en développement) : - Montrer qu'un anneau principal est noetherien. - Expliquer l'application 34. - Pourquoi faire Smith dans un cadre principal si toutes les applications sont euclidiennes (j'ai répondu que Smith principal revêt un caractère philosophique dû au théorème 22) ? - Peut-on donner une borne sur la complexité de l'algorithme de Smith (oui dans le cas euclidien, non dans le cas principal) ? - Comment montrer l'unicité de la forme de Smith ? - Préciser l'algorithme d'Euclide étendu (remarque 26). Retours sur l'oral : Dans l'ensemble, ça c'est très bien passé. Le jury m'a un peu reproché le cadre très abstrait dans lequel je me place lorsque la plupart des applications se font dans des anneaux euclidiens. Ils insistent sur le fait qu'il n'est pas nécessaire de parler de domaines de Bézout ni même d'anneaux à PGCD, et qu'on peut tout faire en jonglant entre des anneaux factoriels et euclidiens. Ils ont également dit qu'il était peut-être un peu limite que les deux développements soient de nature algorithmique, avant d'ajouter qu'ici ça allait parce que les deux algos sont très différents, et que le risque dans cette leçon est plus de ne pas mettre assez d'algos que d'en mettre trop. Voilà, j'espère que mon pavé vous aidera !'

Références :

Modules sur les anneaux commutatifs: Cours et exercices

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Objectif Agrégation

Utilisateur : Chazaly

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Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algorithmes fondamentaux\r

Utilisateur : Lilian&Thomas

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Plan réalisée par Thomas. On est restées dans les notions classiques sur cette leçon. Le plan a été préparé au début de l'année ; on comptait le modifier en cours d'année pour enlever le dernier développement et le remplacer par le lemme de Gauss et critère d'Eisenstein. Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année.'

Références :

Algèbre et probabilités

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre et géométrie\r

Utilisateur : lemaire

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Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur. '

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Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Anneaux, corps, résultants

Utilisateur : Jérémie Klingler

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Plan préparé à 3 en 2024 sous la conduite de François Lê que je remercie pour ses précieux conseils ! Si jétais passé dessus le jour J, j'aurais enlevé le 3.3 et le dév sur la forme normale de Smith pour le remplacer par une sous-partie sur les polynômes irréductibles et le contenu d'un polynôme avec Eisenstein en dév. Les références sont à la fin du fichier.'

Références :

Utilisateur : Naïl

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Références :

Utilisateur : Théo L

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Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).'

Références :

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre\r

Utilisateur : Axel Bonneau

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N'étant pas en option C, je connais pas vraiment d'algo à part Euclide. Mais on pourrait parler de Berlekamp ou Cantor-Zassenhaus j'imagine. Je suis pas convaincu par ma toute dernière sous-partie ni même par le dév mais c'est ce que j'avais sous la main. J'utilise le Rombaldi pour quasiment tout le plan en complément avec le Ulmer, le Gourdon pour quelques cas, le Gozard et Ortiz pour le 2e dév.'

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Anneaux, corps, résultants

Algèbre et probabilités

Théorie de Galois

Exercices d'algèbre\r

Utilisateur : Mr_Syndrome

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J'ai l'impression que cette leçon est redoutée par beaucoup, mais je pense qu'en bossant bien les notions elle n'est pas si compliquée (par contre je ne trouvais pas beaucoup de développements). Il faut bien faire attention à l'odre dans lequel on introduit les notions, j'ai pour ma part décidé de partir du cas général pour aller vers les cas particuliers (qui sont plus simples). Comme algorithmes, le mimimum est de mettre celui d'Euclide et celui d'Euclide étendu (ce sont les algorithmes utilisés au lycée donc aucune nouveauté). Je ne pense pas que mon développement sur le critère d'Eisenstein mérite une sous-partie à lui tout seul, mais je ne voyais pas où le mettre sinon. Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux ! Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan. N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.'

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre\r

Anneaux, corps, résultants

Algèbre et probabilités

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Utilisateur : DaTiCo

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Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider ! '

Références :

Utilisateur : Jeanclaudedu77

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J'aime pas.'

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre\r

Objectif Agrégation

Algèbre\r

Utilisateur : kureru

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Fichier 1 : Plan réalisé pendant l'année 2023-2024 et non vérifié par une personne compétente. Fichier 2 : brouillon/ébauche/méta-plan Mon conseil : prenez ce qui vous semble pertinent et surtout faites simple. Pas besoin de faire compliqué pour avoir l'agreg. Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente. I. Anneaux à PGCD 1) Pgcd et anneaux à pgcd 2) Divisibilité et anneaux factoriels 3) Anneaux principaux 4) Anneaux euclidiens II. Algorithme de PGCD dans un anneau euclidien 1) Division euclidienne 2) Algorithme d'Euclide III. Applications 1) Congruences et restes chinois (DVT: restes chinois) 2) Lemme des noyaux et étude des polynômes (DVT : Eisenstein) 3) Théorie des groupes '

Références :

Utilisateur : Julos

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La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans. Je pense qu'il est bien de faire cette leçon juste après celle sur les anneaux principaux. Malgré le titre qui vend pas du rêve je trouve la leçon cool. Pour la partie algorithme coût etc j'aurai bien aimé trouver une autre référence, je ne trouve pas le Demazure top. J'ai finalement remplacé le lemme de noyaux par Dunford.'

Références :

Utilisateur : Tintin

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Cette leçon ressemble beaucoup à la 122 sur les anneaux principaux mais il est possible de parler d'autres sujets comme par exemple de l'algorithme de Smith que je n'ai pas abordé ici. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).'

Références :

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Utilisateur : Mathis Lemay

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Je n'aime vraiment pas cette leçon... Mais il fallait bien la faire car j'avais déjà une impasse sur la 181... La partie sur les anneaux ressemble beaucoup à la leçon 122, et la leçon en elle-même ne me semble pas trop mal mais la partie II-2) me faisait très peur (il est pourtant fortement recommandé de parler de ça dans le rapport du jury) et surtout mes développements sont vraiment bof bof ... Bref à consulter avec prudence !'

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre\r

Algèbre et probabilités

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Cours d'algèbre\r

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 142. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)'

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Objectif Agrégation

Cours d'algèbre\r

Utilisateur : Hugo

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J'aime bien la manière dont j'ai construit cette leçon et j'aime bien mes développements, mais je n'aurais pas été très à l'aise de tomber dessus à l'oral. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation ! TL1= Tout-en-un licence 1'

Références :

Algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Oraux X-ENS Algèbre 1

Utilisateur : AdrienChd

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Ébauche de plan non rédigé en intégralité, mais que je partage quand même car j'aime beaucoup la structure de mon plan, notamment la deuxième partie. Mes développements ont été l'algorithme de Berlekamp et le théorème de Liouville (cf. EWna). Des exemples, juste énoncés, d'éléments ayant un pgcd mais pas de ppcm, ou pas de pgcd, se trouvent dans Berhuy. La preuve et plein d'autres belles infos sur les pgcd et ppcm se trouvent dans ce papier du culte Daniel Perrin : <a href=\"https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/Sevres/pgcd-ppcm.pdf\">Autour du ppcm et du pgcd</a>'

Références :

Objectif Agrégation

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Cours d'algèbre\r

Oraux X-ENS Algèbre 1

Modern Computer Algebra

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Bertin Thomas

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Bien connaître la définition du PGCD PPCM '

Références :

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Oraux X-ENS Algèbre 1

Algorithmes fondamentaux\r

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.'

Références :

Utilisateur : Agent B0

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Leçon pas très appréciée. Il manque l'aspect algorithmique. Plan pas détaillé fait à la fin de l'année.'

Références :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre\r

Utilisateur : EWna

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Plan éprouvé par une présentation en cours d'année. Référence supplémentaire: Algèbre I : Daniel Guin (Je le réécrirai plus proprement dès que possible, désolé...)'

Références :

Oraux X-ENS Algèbre 1

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Cal] Elements de théorie des anneaux : Calais [Per] Cours d'algèbre : Perrin [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann [Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi [FGN Al1] Oraux X-ENS Algèbre 1 : Francinou, Gianella, Nicolas [Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre'

Références :

Elements de théorie des anneaux\r

Cours d'algèbre\r

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Oraux X-ENS Algèbre 1

131 Développements pour l’oral

Utilisateur : Maurer

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Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Algèbre L3\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Marvin

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Leçon plus rigolo qu'on ne le croit !'

Références :

Objectif Agrégation

Algèbre\r

Cours d'algèbre\r

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles... '

Références :

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Alexandre

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Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Corentin

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Elements de théorie des anneaux\r

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Objectif Agrégation

Algèbre et géométrie\r

Algèbre L3\r

Théorie des nombres

Utilisateur : Alexis

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Cours d'algèbre\r

Oraux X-ENS Algèbre 1

Elements d'analyse et d'algèbre\r

Utilisateur : jojolafleurbleue

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Matrices\r

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Objectif Agrégation

Oraux X-ENS Algèbre 1

Utilisateur : Thomas Tôt

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Retours : - Présenter la def du pgcd/ppcm naturelle en premier. - Inverser la présentation des anneaux (Euclidien => principal => factoriel), pour mieux montrer les différences dans les propriétés. Remarque : la fin du dvp proposé est trop rapide'

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Utilisateur : nitro

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Première tentative'

Références :

Retours

Anonyme | Année : 2025

Leçon choisie : 1569

Autre leçon : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2026

Développement choisi par le jury : Critère d'Eisenstein

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai choisi la leçon PGCD par dépit plutôt que par choix parce que je ne voulais vraiment pas passer sur la 161 (pas mon impasse mais tout comme). Du coup c'était une leçon que je n'avais pas vu depuis longtemps et je savais d'emblée qu'il me manquait des algorithmes (je n'ai mis que euclide classique). Donc si vous faites cette leçon, renseignez vous au moins sur Euclide étendu je pense et mettez le dans le plan si possible. Pour ce qui est de l'oral du coup je suis passée sur Eisenstein version Z/Q. Je montre que si un polynôme est réductible dans Q[X] alors on peut le réduire dans Z[X], donc le jury m'a demandé de préciser pourquoi je faisais ça dans ce développement. Ensuite il m'a demandé si la réciproque était vrai, il m'a donné l'exemple de 2X pour voir qu'en général non mais qu'il faut rajouter que le contenu vaut 1 pour que cela soit vrai. Ensuite ils m'ont demandé de démontrer l'homogénéité du contenu (qui découle de celle du pgcd). Ensuite, on m'a demandé pour quels polynômes classiques on pouvait utiliser le critère d'Eisenstein, comment on faisait ? J'ai répondu pour les polynômes cyclotomiques dans le cas où on a l'indice qui est premier. On évalue le polynôme cyclotomique en X+1 et on montre qu'il est p-Eisenstein (je suis passé par l'exemple avec 3 pour avoir une idée avant de conclure pour tous). Dans mon plan j'avais mis que le pgcd de X^n-1 et X^k-1 est X^(pgcd(n;k))-1, ils m'ont demandé de le montrer. Je suis passée par l'écriture avec les polynômes cyclotomiques et j'ai déterminer le pgcd dans Q[X]. Ils m'ont demandé ensuite de le faire dans C[X] donc j'ai réécrit le polynôme comme le produit des (X-s) avec s racine et j'ai déterminé le même pgcd. Ils m'ont demandé si c'était normal j'ai dit que oui en utilisant Bezout et l'invariance de la division euclidienne par extension de corps, qu'ils m'ont demandé d'expliquer/démontrer. Ensuite on a parlé de l'algorithme d'Euclide. Une membre du jury voulait savoir comment déterminer la décomposition de Bezout algorithmiquement. Avec l'algorithme d'Euclide, il faut \"remonter\" donc on ne peut pas le donner à un ordinateur. Elle voulait que je donne l'algorithme d'Euclide étendu je pense mais je ne le connaissais pas et je n'ai pas su retrouver l'algorithme. J'ai fini par dire que je pensais que c'était Euclide étendu. Elle a décidé de passer à autre chose parce que vraiment je ne connaissais pas et ne trouvais pas. Ils m'ont donné un exercice d'application du théorème des restes chinois similaire à l'exemple de mon plan. J'ai redonné les hypothèses d'application du théorème et résolu le système, j'ai vérifié mon résultat particulier à la fin qui était faux donc j'ai repris mes calculs et vu que j'avais échangé deux valeurs dans mon calcul et cette fois ça marchait. Pour finir ils m'ont donné un exercice : Soit u un endomorphisme de E un Kev de dim finie. Montrer que P(u) est inversible ssi le pgcd(P(u), pi)=1 avec pi le polynôme minimal de u. J'ai commencé par le sens dur, je n'y arrivais pas ils m'ont dit de passer au sens réciproque qui était plus facile (décomposition de Bezout + définition du polynôme minimal). J'ai donné quelques idées pour le sens direct mais le temps était fini. Mon plan : I Anneaux factoriels 1) Existence du PGCD et du PPCM et conséquences 2) Anneaux de polynômes (DEV Eisenstein) II Anneaux principaux 1) Propriétes et conséquences du PGCD et du PPCM 2) Théorème des restes chinois (DEV Restes chinois) III Anneaux euclidiens 1) Algorithmes de calcul 2) Anneaux de polynômes III Applications 1) En algèbre linéaire 2) Groupes finis

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était assez froid par rapport aux autres que j'ai eu durant les trois jours, ils chuchotaient beaucoup entre eux. Ils n'étaient pas méchants pour autant et passaient la question ou m'aidaient quand je bloquais.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Cette leçon étant assez à part et ne l'ayant pas bossé beaucoup ou juste avant les oraux, je n'avais pas d'idées sur les questions qu'ils pouvaient me poser donc je ne savais pas trop quoi anticiper pendant la préparation à part refaire mes exemples et les preuves (qu'ils ne m'ont pas demandé). Ils ne m'ont pas non plus parlé de groupes finis (j'avais mis un théorème sur l'ordre et le théorème de structure des groupes abéliens finis). Pour la note c'était à peu près voir un peu mieux que ce que j'espérais après l'oral. Aussi, j'avais appris par coeur les grandes parties de mon plan mais quand j'ai commencé ma préparation je ne savais pas quoi mettre d'intéressant dans la partie 1 qui devait s'appeler divisibilité et premières propriétés donc je ne l'ai pas mise et je ne pense pas que ça a manqué, je ne pouvais de toute façon pas tout mettre. Dans mon plan le vrai manque était les algorithmes sur lesquels il faut je pense un peu insister en mettant au moins deux algorithmes différents.

Note obtenue : 12.0

Références:

Anonyme | Année : 2023

Leçon choisie : 1569

Autre leçon : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2026

Développement choisi par le jury : Théorème de Sophie-Germain

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
- Concernant le développement : * ils m'ont demandé une petite précision sur le début : pourquoi peut-on supposer PGCD(x,y,z)=1 et x,y,z deux à deux premiers entre eux * s'il existait des nombres de Sophie-Germain et combien y en a-t-il * je connaissais bien ce développement, le jury ne m'a rien demandé de plus. - Concernant l'échange : * j'ai eu beaucoup de questions sur le plan : le théorème de Gauss, un contre-exemple pour montrer que l'implication principal ->euclidien est fausse, idem pour factoriel->principal, montrer que premier implique irréductible et si la réciproque est vraie dans le cas général * on a poursuivi avec un exercice : montrer que SL_2(Z) est engendré par les matrices (écrites ici en ligne) ((1 1) (0 1)) et ((0 -1) (1 0)). J'ai eu du mal avec cet exercice mais le jury m'a aidé pour qu'on puisse avancer. * lorsqu'il restait deux minutes d'oral le jury a préféré faire un autre exercice plutôt que de finir le premier (un peu étrange, même si c'était sûrement pour me permettre de me rattraper car je ne comprenais pas très bien les indications données par le jury sur le premier exercice) : calculer PGCD(X^(n)-1,X^(k)-1). J'ai à peine eu le temps de dire qu'on pouvait essayer une division euclidienne en supposant n>=k et de factoriser les polynômes à l'aide des racines n-ièmes de l'unité que l'oral c'est arrêté.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très gentil et patient et n'a pas hésité à m'aider lorsque j'ai bloqué sur l'exercice.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Tout est très bien organisé, il n'y a rien à signaler.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Anonyme | Année : 2019

Leçon choisie : 1569

Autre leçon : Déterminant. Exemples et applications. 2026

Développement choisi par le jury : Algorithme d'Euclide étendu et complexité

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le jury m'a posé quelques questions pour bien refixer les hypothèses de ma leçons. Puis est passé à une lecture plus approfondie du plan. Après quelques questions pour me demander si je pouvais un peu plus généraliser certains résultats de mon plan ou les réécrire pour éviter d'utiliser des termes partant un peu trop loin (comme ensemble réticulé, pour définir pgcd et ppcm), l'un des jury a remarqué (à voix haute) que mon plan manquait d'exemple. La fin de l'échange a donc été constitué de recherche de contre-exemples à mon plan (Donner un idéal non-monogène de Z[X], par exemple).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très sympathique, bien que peu souriant. Bien que l'un d'entre eux semblait commencer à se tendre vers la fin, ils m'ont tous les trois encouragés à avancer lorsque je touchais une corde sensible de leurs questions.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'ai été beaucoup plus rapide lors de cette préparation qu'au moment de mes oraux blancs. Pour autant, il ne faut pas prendre tout son temps ;). Le jury me mettait étrangement en confiance et était très apaisant (moi qui ai eu à résoudre de gros soucis de stress, à côté du travail propre au concours). Cette dernière remarque concerne d'ailleurs l'ensemble de mes épreuves !

Note obtenue : 10.0

Références: