155 - Exponentielle de matrices. Applications.2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Attention, il y a potentiellement beaucoup de questions oubliées. Questions développement : >>>> - 5 minutes sur les polynômes interpolateurs de Lagrange, les questions >>>> étaient floues, je me suis un peu enfoncé puis j'ai fini par répondre >>>> quelque chose que j'avais déjà dit pendant mon développement, et ils >>>> m'ont dit que c'était ça... >>>> - Erreur de notation vite corrigée >>>> - Justification de la suite des inverse bornée : réponse à l'oral Questions (sur le plan mais pas que) : >>>> - Montrer que exp(A) est un polynôme en A : réponse rapide à l'oral >>>> - Majorer le degré du polynôme : réponse à l'oral >>>> - Existe-t-il P tel que pour toute matrice A dans Mn(R), exp(A)=P(A) : >>>> je conclus après avoir écrit les choses >>>> - Preuve lien rayon spectral et norme subordonnée 2 : j'ai donné un sens >>>> et on est passé à la suite >>>> - Si p(A)<1, comment peut-on définir le log matriciel : je n'ai pas >>>> répondu instantanément et ils m'ont alors dit passons à autre chose >>>> - Trouver une matrice explicite qui n'est pas l'image de l'exponentielle >>>> matricielle : dans mon plan >>>> - A-t-on une décomposition polaire pour les matrices dans Mn(R) : >>>> réponse et preuve Exo : montrer que tout hyperplan contient une matrice inversible : j'ai >>>> commencé et l'oral s'est terminé

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très agréable, et nous mettait à l'aise vis-à-vis de la chaleur en nous proposant eau et brumisateur.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Tout s'est déroulé comme prévu, et attention le temps passe vite et la chaleur est pesante.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
1. Pouvez-vous justifier que O(p,q) est stable par transposition? 2. Pouvez-vous justifier que l’exp de la transposée c’est la transposé de l’exp? 3. Pouvez-vous ré-expliquer pourquoi on a L ∩ S (R) ≃ O(p, q) ∩ S++(R)? 4. Justifiez que p = 0 ssi O(p,q) est compact. 5. Vous utilisez que l’exponentielle réalise un homéomorphisme, sauriez-vous justifier la surjectivité ? 6. Toujours dans cet homéomorphisme, comment prouver la continuité de la réciproque ? 7. En lien avec votre dev, que peut on dire de H tel que, ∀t ∈ R, exp(tH) ∈ O(p, q) ? 8.Pouvez-vous justifier que exp(A) ∈ K[A]? 9. Et alors, en utilisant cela, auriez-vous un moyen de calculer une exponentielle matricielle pour une matrice diagonalisable sans avoir à calculer des matrices de changement de base? 10. Un petit calcul ; pouvez-vous calculer exp ([a b] [b a]) ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury composé de 2 hommes et 1 femme, vraiment sympathique et bienveillant, souriant, la femme acquiesçait la plupart du temps, me donnait des indications si besoin.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
On a 15 min de latence entre le moment où on doit poser les stylos et le moment où on passe devant le jury.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Q - Pourquoi exp(A) est un polynôme en A ? R : car R[A] est un sous espace de Mn(R) qui est de dimension finie donc à son tour il est de dimension finie puis fermé, et l'exp est une limite de suite de matrices de R[A] qui converge. Q - Vous précisez que vous prenez - dans le dév - un polynôme interpolateur de Lagrange, mais si vos valeurs propres ne sont pas toutes distinctes, comment vous le définiriez ? (je n'avais pas abordé la question des multiplicités dans mon dév) R : *bégaiement* [...] Euh bah si il y a plusieurs des valeurs propres avec multiplicité >1 alors mon polynôme interpolateur aura un degré plus petit. Q - Vous avez dit à la fin 'A_k est une suite d'un compact de Mn(R) qui a une unique valeur d'adhérence donc elle converge' mais de quel compact parlez vous ? R : *quelques embrouilles avec la question et mon esprit* Je prends l'ensemble des matrices dont le rayon spectral en inférieur au majorant que j'avais introduit. Q - Vous avez dit qu'il était simple de calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable, est-ce que c'est vrai ? R : Bah il suffit de trouver les valeurs propres, puis des vecteurs propres associés, on diagonalise et on calcule avec la formule. Q - Si je prends [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]] par exemple ? [...] Déjà pourquoi elle est diagonalisable ? R : *heu qjknqdsùdk\" Q - elle est symétrique R : Ok je vois, bon alors trouver les valeurs propres puis des vecteurs propres peut être long donc il aurait fallu dire que c'est facile si on possède déjà des vecteurs propres. Q - D'ailleurs on aurait pas forcément besoin de valeurs propres (ou vecteurs propres je sais plus..) n'y aurait-il pas plus simple avec les projecteurs spectraux ? R : Si on a le polynôme caractéristique, on pourrait regarder la décomposition en éléments simples de la fraction 1 / Ki(A) et [...] Q - Il y a peut-être plus simple, prenez [...] S'en suit un long dialogue avec 2 membres où j'étais vraiment perdu à cause des notations + du stress de la position de l'interrogé, je n'ai pas réussi à conclure et on est passé à autre chose. Le but étant de trouver une expression des projecteurs sur les sev propres parallèlement aux autres. Q - Est-ce que exp : Mn(R) dans Gln(R) est surjective ? R : Non car déjà en dimension 1 l'exp est à valeurs stt positive. Q - Et en dimension 2 ? R : Si je prend la diagonale [-1 , 1 ] son déterminant est stt négatif or det(exp(A))=exp(tr(A)) > 0 donc c'est pas possible. Q - Ok alors est-ce que les matrices de Gln(R) de déterminant strictement positif sont toutes atteintes ? R : Je ne pense pas... (j'ai sorti la matrice du rapport de jury diag(-1,-1) mais manque de bol cette matrice était atteinte). J'ai précisé à l'oral que j'avais une idée d'un antécédent pour cette matrice puis un membre du jury m'a demandé de développer. J'ai essayé de me souvenir du Rombaldi où on avait la réponse mais la réponse que j'ai donné n'était pas complètement juste, au final on m'a fait calculer l'exponentielle de la matrice [[0,-a],[a,0]] pour m'aiguiller, puis de manière assez naturelle (sauf erreur de calculs et aide de meilleurs notations) je suis arrivé sur le résultat de [[cos(a), -sin(a)],[sin(a),cos(a)]] et j'en ai déduit un antécédent. Q - Pouvez-vous nous donner une matrice de Gln(R)+ non atteinte ? R : Je ne sais pas Q - Prenez diag(-1,-2), que pouvez-vous dire ? R : Déjà si elle a un antécédent alors cet antécédent n'est pas diagonalisable sinon l'exp de ses valeurs propres serait > 0 Q - Oui c'est vrai, que peut-on conclure alors ? R : (là j'ai beaucoup galéré alors que la réponse était écrit dans mon plan : exp(A) est diagonalisable SSI A est diagonalisable, mais finalement je n'ai pas su répondre dans le temps imparti, je me suis pas mal embrouillé avec ce qu'ils m'ont dit) Fin de l'oral.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très sympathique, je n'ai pas senti d'agacement même après m'être embrouillé sur des choses simples. C'était vraiment un dialogue tout du long avec les membres du jury qui aidé dès que je bloquais/ ne savais pas.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas vraiment de surprise sur le déroulement, j'avais un plan assez court (25 objets) mais qui - je trouvais - traitait le sujet convenablement.