Hahn Banach (version analytique) en dimension finie

Soient $V$ un espace vectoriel de dimension finie et $p$ une fonction convexe de $V$ dans $\mathbb{R}$. Soient $G$ un sous-espace vectoriel de $V$ et $f$ une forme linéaire sur $G$ qui vérifie $f(x) \le p(x)$ pour tout $x \in V$. Alors il existe un prolongement linéaire de $g$ de $f$ à sur $V$ vérifiant encore la condition $f(x) \le p(x)$ pour tout $x \in V$. (cf Wikipédia)