Loi d'inertie de Sylvester, classification des formes quadratiques sur R, équivalence

Soit $(E, q)$ un espace quadratique.\r\r<u><b>Lemme 1 :</b></u> Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on a $\dim(F) + \dim(F^{\perp}) \geq E$ avec égalité lorsque $q$ est non dégénérée. De plus, $E = F \oplus F^{\perp}$ si, et seulement si $q_{|F}$ est non dégénérée.\r\r<u><b>Thm/Déf 2 :</b></u> Pour toute base $q$-orthogonale $(e_1, \ldots ,e_n)$ de $E$, les entiers $s = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) > 0\}$ et $t = \# \{i \in [\![1,n]\!] \ | \ q(e_i) < 0\}$ ne dépendent que de $q$, et non du choix de la base $q$-orthogonale. Le couple $(s,t)$ est alors appelé signature de $q$.\r\r<u><b>Thm 3 :</b></u> Notons $\mathcal{P}$ (resp $\mathcal{N}$) l'ensemble des sous-espaces vectoriels $F$ de $E$ tels que $q_{|F}$ est définie positive (resp. définie négative). En notant $(s,t)$ la signature de $q$, on a:\r$$ s = \max\limits_{F \in \mathcal{P}} \dim(F) \quad \hbox{et} \quad t = \max\limits_{F \in \mathcal{N}} \dim(F) $$