158 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).2026

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Jury : Dans votre développement, vous avez mentionné la continuité de l'application $ x\mapsto \langle Ax,x\rangle $, pouvez-vous la justifier ? J'ai écrit cette fonction comme une composition de fonctions continues (on me demande pourquoi le produit scalaire est continu, je réponds que c'est par Cauchy-Schwarz et cela leur convient) Jury : Ici on est dans le cadre matriciel, a-t-on une expression de cette fonction ? Je donne donc l'expression en fonction des coefficients de $A$ et de $x$. Jury : Peut-on conclure à la continuité ? Oui, c'est polynomial donc continu Jury: (toujours en lien avec le développement) Pouvez-vous définir le rayon spectral et expliquer pourquoi, pour une matrice symétrique, c'est égal à la norme 2 ? J'explique, en m'emmêlant un peu pour la norme 2 mais ça a l'air de les convaincre. J : Connaissez-vous d'autres propriétés/définitions du rayon spectral ? Je dis que c'est l'inf des normes subordonnées, puis que c'est la limite des $\|A^n\|^{\frac 1 n}$. Cela leur convient, ils ne me demandent pas de le démontrer (ouf). J : Est-ce que le développement marche si on se place sur $\mathbb C$, avec des matrices hermitiennes ? C'est fait dans le cadre réel et complexe dans le Ciarlet donc je suis sûr que oui. Je dis que rien ne change si on prend des matrices hermitiennes mais ils n'ont pas l'air très convaincus. J : Les valeurs propres des matrices hermitiennes peuvent encore être ordonnées ? Je dis que oui, elles sont réelles. Ils me demandent de le démontrer rapidement. On passe ensuite aux questions sur le plan. Jury : Qu'est-ce qu'une réflexion en dimension 2 ? Un produit de deux réflexions ? Je fais un dessin et dis qu'une réflexion est une symétrie axiale. Je dis ensuite que comme le déterminant d'un produit de 2 réflexions est 1, c'est une rotation. J : Si on prend deux réflexions (du plan) d'axes formant un angle $\theta$, quel est l'angle de la rotation obtenue ? Je fais un dessin comme ils me le suggèrent, le fixe un certain temps et dis que c'est $2\theta$. Ils semblent convaincus. J : Considérons une galaxie qui tourne sur elle-même (dans un plan) dans l'espace. Quels sont les espaces stables pour la transformation associée ? Je mets un peu de temps à comprendre la situation, puis j'écris la matrice de la transformation (par blocs, avec un 1 et un bloc de rotation). Je dis qu'il n'y a que l'axe de rotation qui est stable, ils me disent de corriger et je dis qu'il y a aussi le plan de la rotation. Je n'arrive cependant pas à montrer que ce sont les seuls et on passe à autre chose. On discute ensuite un certain temps de la réduction des normaux (cas réel). Ils me demandent ce qu'il se passe dans le cas des isométries (je n'avais écris que le cas général et celui des endomorphismes symétriques), puis demandent quelles isométries sont diagonalisables. J'oublie de préciser les angles des rotations qui apparaissent et m'en rends compte lorsqu'ils me demandent d'expliquer pourquoi les blocs de rotation ne sont pas diagonalisables. Après quelques échanges, on conclue que les isométries diagonalisables sont les symétries (orthogonales). J : Voici l'inégalité d'Hadamard. Pouvez-vous la démontrer ? Elle n'est pas dans mon plan mais je l'avais travaillée quelques semaines avant. Je dis que je peux utiliser les déterminants de Gram mais j'ai un gros trou. On parle alors de l'interprétation géométrique en dimension 2. Ils me disent qu'on peut utiliser cette interprétation géométrique en dimension supérieure puis l'oral se termine.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très gentil, souriant, quand je ne trouvais pas il donnait une autre question pour m'aiguiller ou passait à autre chose.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas de surprise

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'aimais bien les deux lecons mais la 158 me semblait le choix le plus sur. Il y a un chapitre dans le Rombaldi qui porte litteralement le meme titre et il suffit de le derouler. Du coup ca m'a laisse 1h30 pour preparer mes deux developpements. La presentation du plan se passe bien et je finis le developpement pile dans les temps. J'avais fait une ou deux petites erreurs d'inattention au tableau, le jury signale et je corrige. Questions du Jury : - Que representent geometriquement les blocs 2x2 (a b -b a) dans la matrice reduite ? - Des similtudes. - De quel rapport ? angle ? - \sqrt(a^2 + b^2) et on prend arccos de la premiere entree de la matrice renormalisee pour l'angle. - Cas particuliers dans le theoreme de reduction des endomorphismes normaux. Que se passe-t-il si on est dans le cadre hermitien ? - On est diagonalisable et les matrices de passage sont unitaires. - Le demontrer - Que se passe-t-il si on est antisymetrique ? - Je n'ai plus que des 0 sur la diagonale et des blocs (0 b -b 0). - Que representent geometriquement les blocs (0 b -b 0) ? - Des similitudes d'angle +/-pi/2 - On revient sur une des propositions de mon plan. Composantes connexes du groupe orthogonal : comment on montrer que c'est connexe (par arcs) ? - Je reponds trop vite et je dis une betise en disant qu'on relie tout a l'identite. Le jury tique et je me corrige en disant qu'evidemment ca ne marche pas pour le determinant -1. Je fais le bon raisonnement - On revient sur un des points de mon developpement ou j'evoque l'existence et l'unicite des racines de matrices symetriques definies positives. Que dire si S est seulement symetrique ? - Il n'y a plus unicite - Que peut-on dire du nombre de solutions ? - Je buggue un peu, et je me perds dans le raisonnement. Je finis par y arriver avec un peu d'aide. Et je dis qu'il y a 2^n solutions. - Sauf ? - Sauf si une des valeurs propres est nulle - Oui et n'y a t il pas un autre cas particulier ? - Je ne trouve pas. On finit par me dire que si un espace propre est de dimension superieure a 1 il faut faire attention. L'entretien est fini.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Tres sympathique et aidant quand il le fallait.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui. J'etais content de mon tirage et j'ai pu faire deux developpements que j'aimais bien, meme s'ils n'allaient pas tres loin. J'etais un peu decu que les questions n'aillent pas plus loin, mais au final la note etait correcte et m'a permis d'etre admis.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Meta-plan proposé: I) Généralités et exemples 1) adjoint, orthogonal 2) projections, symétries, réflexions etc II) Reduction 1) endomorphismes normaux 2) applications: symétriques, antisymétriques, isométries, décomposition polaire, réduction simultanée etc III) Groupe orthogonal (essentiellement le chapitre 6 du Perrin) 1) gérérateurs, groupe dérivé 2) n=2: groupe des angles orientés (Audin) 3) simplicité de PSO_n (dev 2: simplicité de SO3(R)) Retour sur le développement : est-ce que si u est normal et F stable par u la restriction de u a F orthogonal est encore normal? Comment peut-on qualifier les blocs 2 fois 2 dans la décomposition ? Comment retrouver le théorème de réduction des isométries ? Retour sur le plan: prouver le théorème sur la connexité de SO(n) et le théorème de réduction simultanée ? Exercice: étude de la transposition (symétrie orthogonale), donner la dimension maximale d’un sev de Mn(R) constitué de matrices diagonalisables, étudier l’espace tangent a On en l’identité et questions sur les sous variétés de Rn

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très sympathique.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oral passe comme prévu. Fin de l’oral 10 minutes en avance

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Mon développement était plutôt rapide donc il m'ont demandé de répéter des justifications que j'avais donné seulement à l'oral. Il y avait une erreur dans mon plan, j'avais écrit \"les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont +1 ou -1\" et ont vite compris que je maîtrisais mal les valeurs propres des matrices orthogonales, alors toutes les questions ont tourné autour de ceci et en lien avec la classification des matrices de SO2(R) ou O2(R).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Peu expressif mais ils accompagnaient vraiment bien, en laissant de la liberté.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'aurais dû mettre moins de points de mon plan sur les généralités des espaces euclidiens, j'aurais eu alors plus de temps pour parler des matrices de Gram par exemple. Pour l'oral lui-même je suis content, bien que mes manque de connaissances sont vites révélées, j'ai su répondre aux problématiques qu'ils me posaient pour corriger mes lacunes.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques questions sur le developpement mais en general clair. Quelques questions sur le plan portant sur les theoremes importants de la lecon et si j'avais une idee de comment les montrer. Ils m'ont pose 3 exos portant sur les endomorphismes orthogonaux que j'ai peine a faire.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Tres bienveillant et patient.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Comme attendu.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions du jury : - Lorsque l'on parle d'homéomorphisme dans la décomposition polaire, de quelles topologies parle-t-on ? - Quelles peuvent être les applications du théorème spectral ? Je ne vois pas ce que le jury veut me faire dire, on me demande donc à quel objet peut s'associer une matrice symétrique. Je répond donc que le théorème spectral peut servir à l'étude générale des formes quadratiques, le jury me demande de l'expliquer. - Expliquez pourquoi on peut simultanément diagonaliser deux endomorphismes symétriques qui commutent. - Montrez l'existence et l'unicité de l'adjoint. Je réponds que ça découle du théorème de Riesz-Fréchet en dimension finie, que le jury me demande de démontrer. - Montrez que l'ensemble des matrices symétriques définies positives est ouvert dans l'ensemble des matrices symétriques. Le jury s'attendait à ce que j'utilise la caractérisation par les mineurs principaux.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury, très neutre, laissait du temps pour réfléchir et n'aidait que si je ne m'en sortais pas.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Le tableau était très petit ce qui était un peu déstabilisant pour le développement.