Image de l'exponentielle matricielle

Je n'ai pas eu le temps de le taper sur latex. J'ai présenté ce développement le jour J, j'ai tenu 15 minutes pile. J'ai aussi montré l'image de l'exponentielle matricielle réelle, il me semble que c'est une question que le jury m'a posée. Cela découle de la preuve du développement, je savais le faire car c'est écrit dans la source, je conseille de savoir le faire, c'est pas grand chose. On m'a aussi demandé pourquoi on montre que C est un ouvert, c'est pour faire du calcul diff dessus et donc avoir un voisinage en tout point.

Utiliser l'inversion locale et les techniques de groupes topologiques c'est plutôt stylé ! Et en plus ça rentre dans connexité, que demander de plus ? ERRATUM : Dans ma première version jointe ici, j'ai écrit une ÉNORME bêtise : $\mathbb{C}[A]^{\times}$ est connexe par arcs, mais pas parce que c'est l'intersection de deux connexes par arcs !! On montre en fait qu'il est connexe par arcs de la même manière que $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ grâce au fait que $\mathbb{C}[A]^{\times} = \mathbb{C}[A] \cap \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.