Formes de Hankel

- Définition de la forme $q$ associée à $P = \prod\limits_{k=1}^t(X-\alpha_k)^{m_k} \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ par $q(R) = \sum\limits_{k=1}^t m_kR(\alpha_k)^2$ pour $R \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ ; - Lien entre la signature de $q$ et le nombre de racines (réelles et non réelles) distinctes de $P$ ; - Compléments : comment déterminer la signature de $q$ sans connaître les racines de $P$ en utilisant les sommes de Newton de $P$ / application au degré $2$ pour retrouver les résultats connus sur la résolution des équations quadratiques. Leçons concernées : 144, 170, 171'

Excellent développement qui se recase à merveille dans des leçons compliquées : racines de polynômes et polynômes symétriques, dualité, et formes quadratiques.'

Attention au passage de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{C}$. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Un résultat rigolo, qui correspond au passage au quotient par $(P)$ de la forme quadratique : $$ \begin{array}{rcl} \mathbb{C}[X] & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ Q & \longmapsto & \displaystyle \sum_{i = 1}^{t}m_iQ(\alpha_i)^2 \end{array} $$ où on a noté $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ les racines complexes distinctes de $P$ et $m_1,\ldots,m_t$ les multiplicités des racines de $P$.'

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CouZaert est passée sur ce développement lors de son oral d'algèbre (leçon 144). Nous avons relu cette version ensemble. La version du NH2G2 tome 1 est assez elliptique : quelques passages mériteraient d'être plus détaillés. Selon moi : leçons 144 et 170 (2023). À la limite 171, mais je pense qu'il y a bien mieux à faire. N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.'

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Attention, ce développement est dangereux pour le passage parfois ambigu de R à C ! L'invariance du rang est ainsi un indispensable !'

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