Etude des polynômes alternés

Soit A un anneau intègre, et $n \geq 1$.\rOn appelle polynômes alternés les éléments de $A[X_1,\dot,X_n]^{A_n}$.\rSoient $V_n := \Pi_{i < j } X_i-X_j$, $U_n := \Pi_{i < j } X_i+X_j$.\rLe polynôme $W_n := \frac{V_n+U_n}{2}$ est à coefficients entiers, donc vit dans $A[X_1,\dot,X_n]$.\rPour tout polynôme alterné P, il existe des polynômes symétriques $Q,R$ tels que $P = Q + W_n.R$.