Théorème de Kronecker

Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! Un développement assez facile modulo le théorème de structure des polynômes symétriques. Cela dit, le résultat est amusant et la démonstration agréable à mener. Seule, je pense qu'elle est trop courte pour raisonnablement faire un développement, c'est pourquoi j'ai ajouté deux applications, dont une qu'on retrouvera dans le Carnet de voyage en Algébrie qui porte sur les sous-groupe finis de GLn(Z). A mon sens, cette application là renforce grandement le développement. A titre informatif, je suis tombée sur ce développement à l'oral d'algèbre et j'ai obtenu 19,25/20. C'est un développement que j'ai pris pour combler les trous, je ne le recase donc que dans la 102 et la 144. Avec l'application, peut-être est-il possible de tenter des recasages en 105, 152 ou 153, mais personnellement je ne m'y risquerais pas. '

Un développement plutôt sympa mais court. Il faut le faire tranquillement et prendre son temps. Le corollaire a une référence (le Gourdon) mais la démonstration n'en a pas. J'ai mis la référence pour l'énoncé seulement. Attention aux coquilles.'

Recasages: 102, 141, 144 Je prends la version qui utilise le théorème de structure des polynômes symétriques. Ce gros résultat fait peur mais je trouve qu'il est bien démontré dans Anneaux, corps, résultants à savoir en introduisant l'ordre lexicographique sur les polynômes à plusieurs variables. Le corollaire est inspiré de ce que j'ai trouvé sur agreg maths, mais il n'est vraiment pas compliqué à retenir. Ca passe bien en 13min30.'

Dev pas costaud.'

Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, ce qui en fait un choix stratégique même s’il rentre dans peu de leçons.'

Recasages: 102, 144 FGN (v2) p213 + Gourdon (v3) p95 (Cette rédaction n'est pas satisfaisante, je réécrirai le dév dès que possible) Mon site: https://esuong-maths.fr'

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Pour les leçons : 102, 144. Je n'utilise pas le théorème de décomposition des polynômes symétriques (car je veux éviter les questions dessus), seulement les relations coefficients-racines. A la place j'utilise les matrices compagnon.'

Un de mes développements préférés ! Il est très bien en terme de longueur, en tout cas pour ceux qui aiment expliquer les choses un peu correctement. Pas d'un niveau vertigineux, mais très agréable. Pour l'étape 2, il y a plein de manières de faire, celle que j'ai présentée ici est la plus 'simple' dans le sens où elle ne demande pas de théorèmes difficiles ; mention spéciale à la preuve utilisant les polynômes symétriques élémentaires : elle permet je pense un recasage honnête dans la leçon sur les groupes symétriques, mais la preuve du théorème central sur les polynômes symétriques est imbuvable. Pourtant, utiliser un théorème dont on ne maîtrise pas la preuve le jour de l'oral me semble être un pari fort risqué... C'est ce qui a fait que je suis parti sur la preuve avec les polynômes caractéristiques. Côté recasage: Racines de l'unité Racines d'un polynôme Groupe symétrique (dans la version adaptée, pas présentée ici) Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir. '

J'ai rajouté une application pour que ça tienne en 15 minutes. Cependant, avec l'application, le développement devient un peu long et il faut se dépêcher un peu. Tout dépend de si vous écrivez plutôt lentement ou pas... Désolé, le PDF est un peu coupé par endroits à cause du scanner, normalement tout est dans les références. Cela peut être pas mal de savoir \"étendre\" un peu le résultat de l'application : l'application est-elle surjective ? Que se passe-t-il pour d'autres nombres premiers que 3 ? Il faut aussi être au point sur les polynômes symétriques et le théorème de structure (c'est le point-clé de la démonstration du théorème de Kronecker). Je ne suis pas du tout d'accord avec le recasage 4 étoiles dans la 105... Il ne faut pas forcer non plus...'

Bien se préparer aux questions sur les polynômes symétriques avant de choisir ce développement :-) Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

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Manuscrit'

J'ai rajouté une méthode qui n'utilise pas de résultat sur les polynômes symétriques élémentaires.'

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