Critère de Cohn
On énonce un critère d'irréductibilité nous disant que si l'évaluation en n d'un polynôme à coefficients entiers est un nombre premier alors notre polynôme est irréductible.
Ils se recasent parfaitement dans les leçons 121,141 et 144 mais il faut faire un choix dans la version du théorème qu'on veut présenter car il est long pour 15 min, je donnerais une version manuscrite.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 121 | Nombres premiers. Applications. 2026 |
| 5 | 141 | Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 144 | Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.2026 |
Utilisateur : Desandere
Tout est détaillé dans le livre voir même un peu trop.
A savoir qu'il existe un critère plus classique ou si P(1) est premier avec tous les coeffs strictement positifs alors on a aussi l'irréductibilité.
Pour les exemples concrets on part vite dans des nombres premiers très grands. On a par exemple
X^^3+ 2x^^2 + 3x + 5 qui marche car H=5 et on prend n =13 par exemple
On a en gros trois variantes de ce critère.
Pour la deuxième du développement on a comme exemple:
P(x)=x4+8 évalué en 9 donne 6569
Il faut avoir en tête les autres critères (par exemple Eisenstein et le critère des racines rationnelles pour les polynômes de degré 2 ou 3) pour ne pas donner des exemples qu'on peut résoudre trivialement avec des critères plus simple. En gros le critère de Cohn est vraiment utiles pour des polynômes de degré supérieur à 4 et donc forcément les calculs deviennent gros'
Références :
131 Développements pour l’oral - D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron