221 - Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.2026

Leçon qui est plutôt bien à préparer au niveau du pla, mais assez faible au niveau des développements, qui sont dans la majorité osef. La partie sur les caleurs d'adhérences n'est pas à négliger. Le piège de cette leçon est de se contenter de faire des 'rappels' de niveau L2, essayez quand même de rajouter une touche de niveau L3, que ce soit dans le contenu ou dans la façon de présenter certains résultats. Vous verrez que je n'ai qu'un seul développement. Si j'étais tombé dessus le jour J, je pense que j'aurais fait une mini partie sur les suites des coefs de Fourier, et que j'aurais présenté mon développement sur Euler-MacLaurin (version 246), faute de mieux. Mon dev : Point fixe dans un compact Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.'

Moins bien que 220, elle possède ses défauts mais pas ses qualités. Je n'ai pas grand chose à dire à par le fait qu'il est très bien de savoir manipuler des portraits de phases, et de svoir faire les portraits pour des matrices 2x2. De même que pour la 220, mon deuxième dev est à éviter. Mes devs : Cauchy-Lipschitz, Norme de l'opérateur de Volterra Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.'

Metaplan : I - Résultats théoriques 1) Définitions et notations 2) Existence et unicité 3) Matrice fondamentale et wronskien II - Résolution explicite 1) Equation scalaire d'ordre 1 2) Coefficients constants III - Etude qualitative 1) Localisation des zéros (DEV 1 : Zéros d'une EDL) 2) Comportement asymptotique (DEV 2 : Stabilité par linéarisation) Plan réalisé en 3h. Pour le 2e développement, je fais une preuve présente dans le Berthelin qui passe par la formule de Duhamel et le lemme de Grönwall.'

Plan que j'avais présenté en classe. Je connaissais pas encore le Berthelin à l'époque mais on peut faire toute la leçon avec. Mes deux premières parties sont plutôt classiques et assez safes. Quand je l'avais présentée en classe, la troisième partie ne contenait que mon dév 2 un peu comme un cheveux sur la soupe et j'ai décidé après de parler de théorie de Sturm-Liouville. Avec le recul, le dév nécessite beaucoup de place dans un plan et je pense pas qu'il vaille la peine.'

Mes plans sont très inspirés de Mr Syndrome( Mercii à lui !!) Désolée pour les fautes s'il y en a. bon courage :)'

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Plan réalisée par Thomas. On est restées dans les notions classiques sur cette leçon. Ce plan n’a pas été vérifié par un professeur, donc gardez un esprit critique, surtout qu’il se peut qu’il y ait des typos. N’hésitez pas à nous contacter si besoin ou à nous signaler s’il y a des erreurs. Bon courage pour cette année. Remarque (Lilian) : je suis passée sur cette leçon le jour J, l'importance est d'avoir le Berthelin et je suis passée sur l'équation de Bessel pour le développement. '

Méta plan réalisé à l'aide de ce site et des plans réalisés en classe vérifié par un professeur.'

Pas fan d'equa diff de base mais une bonne lecture du Berthelin ça fait du bien et ça fait 2 leçons pour une seule ref, une offre à ne pas manquer'

Ce sont les grandes lignes de mon plan, non-vérifié par une personne compétente. Désolé pour l'écriture. Je me suis (beaucoup) inspiré de Tintin et Théo Ternier (J'ai eu l'agreg en partie grâce à eux, merci !).'

J'ai pas encore eu le temps de taper le plan en LateX, toutes mes excuses si c'est pas très lisible. J'ai fait l'impasse sur les équa diffs mais j'ai préparé cette leçon au cas où. Je l'ai eu dans mon couplage le jour J et je l'ai pas choisi parce que je sais pas résoudre d'équa diff à partir du degré 2. J'ai oublié mettre en 2e partie le cas à coefficients non constants. Le II est vraiment pas incroyable mais ça dépanne. J'utilise majoritairement le Berthelin et Gourdon, le Rouvière est pour la partie sur le wronskien.'

Plan réalisé en conditions réelles durant un oral blanc. Mon professeur n'a pas fait de remarque particulière sur le plan. En licence je n'étais pas très à l'aise avec les équa diffs, pour moi c'était un truc de physicien. Mais en les bossant pour les écrits, je suis évidemment tombé sur le Berthelin qui m'a tout clarifié. Pour cette leçon, ce livre suffit, la progression est logique et il y a beaucoup d'exemples. De plus il y a de nombreuses remarques qui permettent de bien comprendre ce que l'on fait. Au départ dans ma partie II) j'avais mis une sous-partie sur les équa diff linéaires d'ordre $n$ scalaires à coefficients constants, mais finalement je trouvais que cela faisait une leçon trop longue et que les notations étaient trop lourdes, à vous de voir ce qui vous plaît. Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux ! Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan. N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.'

Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider ! '

La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans. Je traite du cas général à la fin pour éviter de faire un truc trop abstrait dès le départ et donc donner un côté plus pédagogique à la leçon. Avec du recul je ne sais pas si c'était une bonne idée.'

Je déteste.'

Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente : I. Théorie et définitions 1) Equa diff linéaire scalaire 2) Système diff 3) Théorie de Cauchy (DVT : Cauchy Linéaire, DVT : Sylvester) 4) Wronksien II. Résolution et étude de l'espace des solutions 1) Resolution de (EH) 2) Méthode pour trouver une solution particulière 3) Cas de l'ordre 2 III. Etude qualitative pour n = 2'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

Cette leçon est plus facile à faire que la 220 et on peut (quasiment) la faire entièrement avec le Berthelin. Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coefficients constants, non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. De plus, les résultats sur le wronskien et la résolvante peuvent être minimes car on n'en demande pas une étude très poussée. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).'

Voici un plan possible pour la leçon 221. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)'

Cette leçon, bien qu'elle porte sur les équa diff, est beaucoup plus commode que la précédente. On trouve quasiment tout dans le Berthelin ! Cependant, attention avec ce livre, il prend parfois des chemins compliqués en voulant éviter certaines choses : par exemple, pour obtenir les résultats de la partie I-3), il suffit de faire Dunford sur la matrice compagnon obtenue ! Je l'ai présentée devant la classe, et après discussion avec le prof et la classe, j'ai changé mon second développement au profit d'équation de Bessel (voir la 220). On peut cependant laisser l'équation de la chaleur dans le plan car le rapport du jury précise qu'on peut traiter \"certaines EDP linéaires\". Mon plan n'est peut-être pas optimal, j'ai choisi de le faire comme ça pour suivre celui du cours que j'avais eu en M1. Il faut savoir résoudre des systèmes différentiels homogènes à coeff constants (exponentielle de matrices), non homogènes (méthode de variation des constantes) et savoir comment on obtient les portraits de phase en dimension 2. La partie localisation des zéros et théorie de Sturm (III-2)) n'est pas obligatoire du tout, j'ai juste trouvé ça joli en parcourant le Berthelin. Concernant le Wronskien et la résolvante, j'en ai peu parlé car je n'ai jamais été très à l'aise sur ces notions mais je pense que ça suffit. En effet, il ne faut pas leur faire dire plus qu'ils ne disent, c'est-à-dire des résultats purement théoriques. En effet, la résolvante résout mais est en général impossible à trouver ! Le Wronskien sert pour des exercices théoriques, et pour étudier qualitativement les solutions d'une équa diff qu'on ne sait pas résoudre (savoir si elles peuvent être toutes bornées etc...)'

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !'

Je conseille de préparer cette leçon tôt dans l'année, surtout si vous n'êtes pas à l'aise avec les équations différentielles, ce qui est mon cas. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci. '

C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. J'ai utilisé le Demailly et le Benzoni-Gavage.'

Lors d'une présentation orale, je présentais les résultats importants de mon plan sur l'exemple du pendule simple : - retrouver l'équation du pendule : x\" + sin x = 0 - si x est petit on est dans le cas linéaire : x\" + x = 0 (c'est le cas qui nous importe dans cette leçon) - on peut tracer le portrait de phase au tableau'

Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.'

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.'

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Ber] Équations différentielles : Florent Berthelin [ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann'

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles... '

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