Théorème de Floquet

Soit $A : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n (\mathbb{C})$ continue et $T$-périodique, où $T > 0$. Soit $(Y_1, \ldots, Y_n)$ une base de solutions du système différentiel $(\mathcal{H})$ : $X' (t) = A (t) X (t)$. On note $M = (Y_1 | \cdots |Y_n)$. Alors, il existe $B \in \mathcal{M}_n (\mathbb{C})$ telle que : \[ \forall t \in \mathbb{R} \quad M (t + T) = M (t) e^{TB}, \] et pour cette matrice $B$, il existe $Q : \mathbb{R} \rightarrow \text{GL}_n (\mathbb{C})$ $T$-périodique telle que : \[ \forall t \in \mathbb{R} \quad M (t) = Q (t) e^{tB} . \] On démontre également un corollaire de ce théorème, puis on en présente une application.