Théorème de Cauchy-Lipschitz global

Énoncé dans le cas linéaire : Soit un entier $n\geq 1$, $A : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $b : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ deux applications continues. Soit $y_0\in\mathbb{R}^n$. Alors le problème de Cauchy suivant : \begin{align} \begin{cases} y' =A(t)y +b(t) \\ y(0)=y_0 \end{cases} \end{align} admet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.