234 - Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.2025

Rapport du jury 2022

Cette leçon est orientée vers l'étude et l'utilisation de l'espace $L^1$ (voire $L^p$) associé à la mesure de Lebesgue (supposée construite), voire d'autres mesures.\rLes grands théorèmes de la théorie (permutation limite-intégrale, Fubini, etc.) sont évidemment incontournables, mais il faut éviter de s'en tenir à une liste désincarnée d'énoncés en proposant des exemples d'application significatifs.\r\rLe thème de l'approximation (approximation des fonctions intégrables sur R par des fonctions continues à support compact, utilisation de la convolution) fournit de nombreuses applications, ainsi que celui de l'analyse de Fourier sur le cercle ou la droite réelle.\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la transformée de Fourier dans $L^2(R)$, la dualité dans $L^p$ (1 ⩽ p 8), les liens entre intégration et dérivation, les procédés de sommation presque partout de séries de Fourier, l'algèbre de convolution $L^1(R)$, l'étude des parties compactes de $L^p$.

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Rapport du jury 2022

Rapport du jury 2019

Cette leçon porte sur les fonctions intégrables au sens de la théorie générale de l’intégration de Lebesgue ainsi que les suites et les espaces de telles fonctions. Elle ne se restreint donc pas au seul cas des fonctions intégrables pour la mesure de Lebesgue mais peut concerner d’autres mesures telles que la mesure de comptage, les mesures absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, etc., ou encore les mesures de probabilités, qui entrent tout à fait dans le cadre de la leçon. $\\$ Le candidat est invité à étudier le comportement de suites de fonctions Lebesgue-intégrables. Il est souhaitable que soient mentionnés l’approximation par des fonctions étagées ainsi que les principaux théorèmes de convergence sous l’intégrale de cette théorie (le lemme de Fatou, le théorème de la convergence monotone et le théorème de convergence dominée) en les illustrant par des exemples et des contre-exemples judicieux. Il faut avoir compris que l’intégrale d’une fonction continue contre la mesure de Lebesgue coïncide avec la notion usuelle d’intégrale dite de Riemann, et connaître l’interprétation d’une série absolument convergente comme une intégrale. $\\$ Cette leçon nécessite de maîtriser la notion de fonction mesurable et la notion de « presque partout » (et les opérations sur les ensembles négligeables qui sont associées) ainsi que la définition des espaces $L^1$,$L^2$. Toutefois, une connaissance des questions fines de la théorie de la mesure n’est pas exigée. $\\$ Une partie de cette leçon peut éventuellement être consacrée aux espaces $L^p$, mais il n’est pas requis d’en faire le cœur de la présentation. Évoquer la convolution entre fonctionsL1, et éventuellement entre fonctions de $L^1$ et de $L^p$ ainsi que les propriétés de régularisation et de densité qui en résultent, font partie des attendus (on prendra garde toutefois d’éviter les raisonnements circulaires entre continuité des translations et approximation par convolution). Un développement original, mais techniquement exigeant, peut consister à étudier les conditions assurant la compacité de suites bornées dans $L^p$. Enfin, le cas particulier de l’espace hilbertien $L^2$ mérite attention mais il faut alors se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.

Rapport du jury 2017

Cette leçon nécessite d’avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les opérations sur les ensembles négligeables) et évidemment la définition des espaces $L^p$. Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \ge q$). Il est\rimportant de pouvoir justifier l’existence de produits de convolution comme par exemple le produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. Les espaces associés à la mesure de comptage sur $N$ ou $Z$ fournissent des exemples pertinents non triviaux qui peuvent être exploités dans cette leçon. Par ailleurs, des exemples issus des probabilités peuvent tout à fait être mentionnés.\r\rPour aller plus loin, la complétude de $L^p$ ($p$ ffini ou infini) offre aussi un bon développement. On peut aussi penser à certains résultats sur le caractère fini dimensionnel des sous-espaces fermés de $L^p$ dont les\réléments ont des propriétés remarquables (par exemple être dans $L^\infty$). Enfin, le cas particulier hilbertien $p = 2$ mérite attention mais il faut alors se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue de propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.

Rapport du jury 2016

Cette leçon nécessite d’avoir compris les notions de presque partout (comme par exemple les opérations sur les ensembles négligeables) et évidemment la définition des espaces $L^p$. Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu’avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p > q$). Il est important de pouvoir justifier l’existence de produits de convolution comme par exemple le produit de convolution de deux fonctions de $L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur N\rou Z fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent\rêtre proposés comme la description du dual. Par ailleurs, des exemples issus des probabilités peuvent\rtout à fait être mentionnés.\rPour aller plus loin, la complétude de $L^p$ (p fini ou infini) offre aussi un bon développement. On peut\raussi penser à certains résultats sur la dimension des sous-espaces fermés de $L^p$ dont les éléments ont\rdes propriétés particulières de régularité. Enfin, le cas particulier hilbertien $p = 2$ mérite attention\rmais il faut se concentrer sur les spécificités d’un espace de fonctions $L^2$ et éviter de faire un catalogue\rde propriétés vraies pour n’importe quel espace de Hilbert.

Rapport du jury 2015

Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \ge q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$ ). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de comptage sur $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{Z}$ fournissent des exemples pertinents non triviaux à propos desquels des développements peuvent être proposés comme la complétude ou pour les candidats plus solides la description du dual.

Rapport du jury 2014

Le jury a apprécié les candidats sachant montrer qu'avec une mesure finie $L^2 \subset L^1$ (ou même $L^p \subset L^q$ si $p \geq q$). Il est important de pouvoir justifier l'existence de produits de convolution (exemple $L^1 \star L^1$). Par ailleurs, les espaces associés à la mesure de décompte sur $N$ ou $Z$ fournissent des exemples pertinents non triviaux. \r

Développements

5	Densité des polynômes orthogonaux (base hilbertienne)
5	Densité des fonctions tests dans Lp
5	Les automorphismes isométriques des l(p)
5	Espace de Bergman du disque unité
5	Etude de l'espace L1 dont la transformée de Fourier est L1
5	Inégalité de Hardy
5	Un système hyperbolique linéaire
5	Théorème de Calderon
5	Etude de la convergence faible dans L^1(N)
5	Représentation des fonctions lipschitziennes
5	Dual de Lp
5	Parties relativement compactes de Lp(Rn)
5	Inégalités dans les Lp
5	Log concavité et minkowski
5	Théorème de Radon Nikodym
5	Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple
5	l(p) est complet
5	Transformée de Zak et formule de Poisson
5	Inégalités de Young, Holder, Minkowsky et calcul de norme de l'injection de L1 dans Lp
5	Polynômes et fonctions de Hermite
5	Compacité forte dans Lp
5	Dualité des espaces $Lˆp$-$Lˆq$
5	Fermés de L2(R) invariants par translation
5	Principe d'incertitude suédois
5	Injectivité de la transformation de Fourier
5	Théorème de Lévy et théorème central limite
5	Polynômes orthogonaux
5	Théorème de Fejér $L^p$ (approximation de l'identité)
5	Théorème de Fourier-Plancherel
5	Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)
4	Points de Lebesgue d'une fonction L1
4	Formule d'inversion de Fourier dans S(Rd) ou L(Rd)
4	Existence de l'espérance conditionelle
4	Injectivité de la transformée de Fourier
4	Lemme de Grothendieck
4	Théorème d'Egorov
4	Inégalité de Heisenberg
4	Théorème de Vitali
4	Théorème de Fourier-Plancherel (via les espaces de Schwarz)
4	Convergence de séries aléatoires et loi forte des grands nombres L2
4	Formule de la coaire, volume des boules, aire des sphères
4	Changement de variable polaire et interprétation du jacobien
3	Équation de la chaleur sur le cercle
3	Formule de Stirling par le théorème central limite (et par lois de Poisson)
3	Résolution de -u''+u=f sur le cercle
3	Métrique pour la convergence en proba
3	Espace H1 et problème de Dirichlet
3	Injection compacte dans les espaces de Sobolev
1	Riemann-Lebesgue
1	Critère de Weyl 2
1	Polynômes de Hermite
1	Théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov
1	Théorème d'approximation universelle pour les réseaux de neurones
1	[L_p complet !! Doublon : ne pas utiliser]
1	Complétude de l'espace l1(R) en fonction du choix de la norme

Plans

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Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

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Utilisateur : Tintin

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Cette leçon est assez longue donc il faut se resteindre sur la partie concernant la théorie de la mesure, on peut choisir de développer plus mais à ses risques et périls car la construction de la mesure de Lebesgue est hors programme. Il ne faut pas maîtriser entièrement les démonstrations des théorèmes de Fatou, de convergence dominée et monotone (qui sont difficiles)... Cependant il faut bien savoir les utiliser ! N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

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Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Calcul Intégral

Analyse pour l'agrégation

Utilisateur : Mathis Lemay

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Mon plan est très long, on peut éventuellement le raccourcir. On peut utiliser le Li Intégration au lieu du Briane-Pagès si on préfère. J'ai beaucoup restreint la partie sur la théorie de la mesure (I-2)), on peut choisir de développer plus mais à ses risques et périls car la construction de la mesure de Lebesgue est hors programme (et c'est tant mieux...) Je ne pense pas qu'il faille maîtriser les démonstrations de Fatou, TCD, TCM... Qui sont difficiles... Mais il faut bien savoir les utiliser, penser à Fatou si le TCD et le TCM ne donnent rien !! On pourrait rajouter en application de Fubini le calcul de l'intégrale de Gauss.

Références :

Analyse. Théorie de l'intégration

Analyse réelle et complexe

Analyse complexe pour la Licence 3

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 234. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !) Autre référence : Gasquet Witomski Analyse de Fourier

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Analyse. Théorie de l'intégration

Analyse fonctionelle

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

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Utilisateur : Hugo

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J'ai choisi de parler de la théorie de la mesure, ce qui est dispensable à mon sens. Tout dépend de comment vous vous sentez à l'aise avec le sujet. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

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Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation !

Références :

Analyse. Théorie de l'intégration

Calcul Intégral

Les contre-exemples en mathématiques

Analyse pour l'agrégation

De l'intégration aux probabilités

Thèmes pour l'agrégation de mathématiques - Eléments de cours, développements et exercices corrigés

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisateur : Brunel

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Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.

Références :

Analyse. Théorie de l'intégration

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Utilisateur : HermineEnfer

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Plan construit durant l'année sous l'encadrement d'un enseignant. La partie Mesure peut être réduite à la Prop. 1 La partie sur la transformation de Fourier dans L1(R) a surtout pour but de placer mon développement, elle peut être remplacée par de la théorie L2 On peut rajouter l'Ex 31 dans le DEV 2 s'il reste du temps Autre développement possible : Un ou plusieurs théorèmes de convergence

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Analyse. Théorie de l'intégration

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Analyse fonctionnelle - Théorie et applications

Utilisateur : Bertin Thomas

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Analyse. Théorie de l'intégration

Objectif Agrégation

Cours d'analyse fonctionnelle

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

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Utilisateur : Agent B0

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Scan un peu flou désolé. Leçon un peu trop longue à mon goût. Je pense qu'on peut mixer les parties 1 et 2, ne pas parler des fonctions mesurables, et peut-être enlever le lien avec l'intégrale de Riemann.

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Analyse. Théorie de l'intégration

Intégration et applications

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Analyse pour l'agrégation

Utilisateur : RMaurice

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

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Utilisateur : EWna

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Analyse. Théorie de l'intégration

Calcul Intégral

Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels

Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques

Utilisateur : Pandou

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Analyse fonctionelle

Analyse. Théorie de l'intégration

Théorie des distributions

Elements d'analyse fonctionnelle

Analyse réelle et complexe

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Bri] Analyse. Théorie de l'intégration : Briane, Pagès [OA] Objectif Agrégation : Beck, Malick, Peyré [Li] Cours d'analyse fonctionnelle : Daniel Li [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Références :

Analyse. Théorie de l'intégration

Objectif Agrégation

Cours d'analyse fonctionnelle

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Utilisateur : Maurer

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Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Analyse. Théorie de l'intégration

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

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Utilisateur : Marvin

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J'ai fais une dernière sous-partie sur l'espace L² à poids pour remplacer Fourier-Plancherel par les polynômes orthogonaux.

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Objectif Agrégation

Analyse. Théorie de l'intégration

Analyse réelle et complexe

Utilisateur : abarrier

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Utilisateur : Owen

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Analyse. Théorie de l'intégration

Probabilités 1

Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Utilisateur : Inèss

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Utilisateur : Florian Dussap

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Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

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Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Retours

Utilisateur : Augustin LOIRAT | Année : 2019

Leçon choisie : 1541

Autre leçon : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Échantillonage de Shannon

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

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Utilisateur : Tarik Belmekki | Année : 2019

Leçon choisie : 1541

Autre leçon : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Sommation d'Abel des séries de Fourier

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai d'abord justifié mon plan de leçon qui était plutôt orienté vers les applications de la théorie de Lebesgue, en particulier en analyse de Fourier. Le jury est d'abord revenu sur mon développement. J'avais introduit le noyau de Poisson et j'avais justifié sa positivité en faisant un calcul de discriminant. Le jury m'a alors demandé d'écrire le noyau sous une autre forme (avec des modules) et la positivité était immédiate. Le jury m'a demandé de justifier l'existence du produit de convolution de deux fonctions intégrables. Ensuite de justifier que L1 n'avait pas d'élément neutre pour la convolution. Je l'ai fait par l'absurde en passant en Fourier et en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue pour obtenir une contradiction. J'ai au passage raconté une bêtise en disant que si le produit de deux fonctions est nul alors l'une des deux fonctions est identiquement nulle. Le jury m'a dit en êtes vous sûr et là on comprend tout de suite que quelque chose cloche, j'ai dit non et bien sûr ils m'ont demandé un contre exemple en faisant un dessin. Le mot dessin m'a beaucoup aidé et j'ai proposé le produit de deux indicatrices dont les intervalles sont disjoints. Le jury m'a ensuite précisé que ma démonstration par l'absurde était trop rapide car il fallait utiliser une fonction dont la transformée de Fourier était non nulle. J'ai alors proposé la fonction exp de -ax^2 avec a>0 dont je connaissais la transformée de Fourier (une exponentielle aussi). Le jury m'a ensuite demandé si je savais démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue j'ai répondu qu'on le démontre sur l'espace C^1_c par IPP et ensuite par densité. Ils m'ont demandé la partie densité ce que j'ai fait. Il y a eu aussi une question sur le principe de ma démonstration de la complétude des espaces de Bergman ( mon deuxième développement proposé), j'ai donné les grandes lignes et l'oral s'est terminé ainsi. Il y avait deux autres questions sur mon développement une qui parlait de densité des polynômes trigonométriques et j'ai eu beaucoup de mal à répondre à cette question malgré l'aide du jury. Une autre sur la partie de ma démonstration du théorème d'approximation de l'unité où j'avais choisi un delta trop grand pour que f(x-t) soit bien définie avec x dans [-pi,pi]... J'avais oublié : on m'a donné un petit exercice : calculer la limite quand n tend vers +l'infini de l'intégrale entre 1 et + l'infini de exp(-t^n). J'ai utilisé le théorème de convergence dominée. J'ai eu un peu de mal sur l'hypothèse de domination et le jury m'a aidé à surmonter cette difficulté. Ensuite on m'a demandé le lien entre convergence L1 et convergence pp j'ai dit si une suite converge en norme L1 alors il y a convergence pp pour une suite extraite. On m'a alors demandé un contre exemple. j'avais pas eu le temps de réviser cette partie pendant la préparation et j'ai du réfléchir pendant pas mal de temps. J'ai proposé une indicatrice sur un intervalle du type ]1/2^(k+1);1/2^k[, le jury m'a guidé pour améliorer ma réponse. Le jury m'a ensuite demandé le lien entre convergence uniforme et convergence L1, j'ai dit la convergence uniforme implique la convergence L1 si l'espace est de masse totale finie.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était très agréable. ils m'ont posé beaucoup de questions. Ils m'ont très bien guidé pour que j'arrive à répondre à leur questions. Je suis sorti de l'oral en ayant appris des choses ! On peut lire le nom de chaque membre du jury et j'ai un peu stressé quand j'ai vu le nom d'É. Matheron, ses questions était techniques d'ailleurs mais très pertinentes je trouve...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
La préparation dure un peu moins de 3 heures donc attention à finir le plan en 2h45min grand max. J'ai fini mon développement sur la sommation des séries d'Abel en 9 minutes. J'ai alors proposé de démontrer le théorème d'approximation de l'unité du moins le principe. Le jury n'a posé aucune question sur les inégalités de Hölder ou de Minkowski qui étaient dans mon plan, dommage car je les avais bien préparées...

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : GHARBI | Année : 2017

Leçon choisie : 1541

Autre leçon : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
On est d'abord revenus ensemble sur quelques détails de la démo de Riez, quelques précisions. Ensuite ils m'ont posé des questions sur mon plan : - pas mal de questions sur les modes de convergence de VAR (j'avais une partie probas) -questions sur le dual de Lp que j'avais admis, du coup ils m'ont demandé l'utilité du dual. - j'ai eu une série de question sur L2 en tant que Hilbert, produit de convolution, quelques ensembles denses etc.. Ensuite on est passés aux exos. 1) Donner un exemple d'espace mesuré tels que les Lp soient croissants. R: N muni de la mesure de comptage, on écrit norme Lp de f et on a le terme d'une série convergente donc qui tend vers 0. À partir d'un certain rang on est <1 et donc on a la croissance des Lp. 2) soit g dans L2(R) ON suppose que g est orthogonale à toute indicatrice de segment [a,b]. Que dire de g ? Intuitivement on sent que g est nulle precisons-le : Par densité des fonctions engendrées par les indicatrices. Et d'après la caractérisation dans un Hilbert qu'un sev est dense ssi son orthogonal est réduit à 0

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très sympathique des que la porte s'est ouverte, ça m'a vraiment déstressé de les voir ! Ils étaient agreables et pas cassants du tout. Ils me demandaient de préciser mon propos lorsque je n'étais pas clair. Et on sentait vraiment que les questions étaient là pour tester les limites du candidat et pas pour le détruire !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je suis surpris, je m'attendais à être détruis par le jury. Grosse surprise de ce côté là. La préparation s'est bien passé. J'ai fini en 1h30 mon plan. J'ai pu m'entraîner à redémontrer tout les résultats de mon plan et les contre exemples.

Note obtenue : 10.0

Références:

Utilisateur : Admin | Année : 2015

Leçon choisie : 1541

Autre leçon : Formules de Taylor. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Équation de la chaleur sur le cercle

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions de niveau moyen, même si j'ai pas forcément très bien répondu. Le jury était un peu relou, ils écoutaient pas vraiment, ils étaient mous, en gros j'avais un peu l'impression qu'ils s'en foutaient. Et un des mecs (J.-P. Barani) m'a plus ou moins forcé à dire que le dual de $L^1$ n'était pas $L^\infty$. J'ai pas trop insisté parce que c'est un oral, mais j'ai un peu la haine. Et aussi, ils ont fait n'importe quoi administrativement parlant, mais tout s'est bien passé. Enfin un peu des branleurs quoi. Jury : La solution que vous avez trouvé, que peut-on en dire à $t\textgreater0$ fixé ? Votre serviteur : Eh bien puisqu'on a montré que $(t,x)\mapsto u(t,x)$ est $C^\infty$, en particulier $x\mapsto u(t,x)$ est lisse aussi. J : Et comment vous le montreriez ? VS : Ben… Je ferais ça… [C'EST LE TIERS DE MON DÉVELOPPEMENT PENDARD, JE VIENS DE LE FAIRE, TU VEUX PAS ÉCOUTER UNE SECONDE ?] J : Ah. Et si la dérivée en temps est double, qu'est-ce qu'il se passe ? VS : C'est l'équation des ondes, ça ressemble plus à une équation de transport, il n'y a pas régularisation. Jury : Soit $f$ l'indicatrice d'un ensemble de mesure strictement positive. Sa transformée de Fourier est-elle intégrable ? Votre Serviteur : Non, sinon elle serait la transformée de Fourier inverse de sa transformée de Fourier, donc continue. J : Si $f$ et $f^{(n)}$ sont $L^p$, montrez que les $f^{(k)}$ sont bornées. J'en ai chié, mais Taylor, ce qui m'a valu un petit « Ah, je comprends pourquoi vous n'avez pas pris l'autre leçon. » du jury. Garder son calme.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Comme dit précédemment, jury un peu borné.

Note obtenue : 18.0

Références:

Utilisateur : Admin | Année : 2015

Leçon choisie : 1541

Autre leçon : Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions : Q : a-t-on des inclusions entre les Lp si l'espace est de mesure finie ? R : Oui, ils sont décroissants, petit temps pour le montrer. Q : Que se passe-t-il si l'espace est de mesure infinie ? R : Là j'ai dit que je savais qu'il existait des contre-exemples de fonctions qui sont dans un Lp mais dans aucun autre Lq. Et que si on se donnait trois indices on avait une inclusion du type précédent. J'ai commencé à écrire au tableau, mais ils m'ont arrêté pour la suite Q : Quelles sont les fonctions f qui convolées à elle-même sont nulles ? R : Là, j'ai écrit la formule de la convolution, il m'a dit \"Calme-toi\", j'ai fait : \"Ah ok\", passons par Fourier. Et là c'est posé. Q : Vous avez écrit que la transformée de Fourier d'une fonction L1 est continue, que dire de plus ? R : Elle tend vers 0 au bord. Q : Montrer le R : Euh, bah la démonstration que je connais … euh … repose sur une astuce … Plouf Plouf … Q : Admettons le résultat. La transformée de Fourier va de L1 dans les fonctions continues qui tendent vers 0 aux bords, que dire de ce second espace. R : c'est un Banach pour la norme infinie. Q : Vous avez dit que la transformée de Fourier est injective, est-elle surjective dans ces conditions ? R : Là, je me suis dit que je m'étais jamais posé cette question. Et j'ai répondu que je pensais pas vu qu'on introduisait L2 et S pour travailler sur Fourier en général, du coup qu'il fallait trouver un contre-exemple ou montrer que les deux espaces étaient pas isomorphes. Q : Comment fait-on cela ? R : On peut regarder le caractère séparable, là manque de bol les deux sont séparables, enfin je crois. ( du coup il faudrait regarder le caractère réflexif des deux machins … je sais pas si on peut s'en sortir ) Q : Passons à autre chose ? Que dire d'une application continue bijective d'un banach dans un banach ? R : La réciproque est continue, par le théorème de l'application ouverte. Q : Ok petit con maintenant tu vas nous dire à quoi ça sert dans la vie les espaces Lp ? R : Euh … plouf plouf … On peut introduire les espaces de Sobolev pour résoudre des équations différentielles plus générale, et même des E.D.P. Q : Les espaces de Sobolev ? MAIS TU TE FOUS DE MA GUEULE ? Tu crois que tu vas les intéresser les petits cons d'aujourd'hui avec leur black berry, leur iphone et le Ternet ? R : Euh … Q : Quoi euh ! R : Bah … Q : Allez dégage toi aussi t'es un petit con ! R : Bonne journée.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'étais pas très bien vu l'oral de la veille, du coup j'ai pas parlé de tout ce que j'avais prévu dans cette leçon ( Sobolev, Stampaccia, Lax-Milgram) et j'ai surtout bien veillé à la cohérence du plan surtout sur la construction des Lp. Et je me suis retrouvé à faire une leçon sur la convolution et la transformation de Fourier au final en gros ...

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Admin | Année : 2015

Leçon choisie : 1541

Autre leçon : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Riesz-Fischer (a.k.a. Lp est complet)

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
f C^2 de R^+ dans R telle que f et f'' sont L^2, prouver que f' est L^2 $||f||_p -\textgreater ||f||_{+ infty}$ (sur un espace de mesure fini)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury neutre dans son attitude qui fournissait quelques indications.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Globalement bien passé je pense même si trois heures c'est super court.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références: