209 - Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2025

Leçon choisie : 1527

Autre leçon : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.2025

Développement choisi par le jury : Densité des fonctions tests dans Lp

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Questions sur le développement : La conclusion est une double limite à faire dans un certain sens, et je j'avais expliquer le passage à la limite dans le mauvais sens. Donc ils m'ont demander de détailler avec des ε pour que je comprenne et me demandent ce qu'il faut faire et je dis dans l'autre sens et on passe à autre chose. Justification d'une majoration dans le développement (norme p de la translaté de f moins f inférieur a 2^p||f||^p) Je le fais rapidement et on passe. Questions en l'air : comment sait-on qu'il existe des fonctions test ? J'ai énoncé un exemple des fonction plateaux, et m'ont demandé comment on construit la partie C infini justement ! Je pense alors à la fonction exp(-1/(x^2-1)), je trace sont graphe. Ils me disent ah ! Et celle la pourquoi est-elle intéressante ? Je dis qu'elle est C infini et que ses dérivées de tout ordre sont nulles en 1 et-1 donc on peut la prolonger par zéro sur R en dehors de [-1, 1]. Je rajoute qu'on peut construire la généraliser à tout intervalle [a, b]. Dans la foulée le même qui m'a lancé surbles fonctions plateau me demande et des fonctions à support compact analytique sur C ça existe ? Par exemples cette fonction dont vous avez parlez ? Je dis que je sait pas mais que celle que j'ai donné ne fonctionne pas Pourquoi ?? Parce que son DSE est nulle en 1 et-1 car ses dérivées de tout ordres sont nulles donc elle est pas analytique sur C donc pas analytique a support compact. Il me disent ok et on passe à autre chose. Question sur l'autre développement non choisi : Questions sur weierstrass : une fonction continues sur [0,1]U[2,3] Est-elle limite uniforme de polynômes ? Je trace la fonction demandée, et je dis qu'on relit les deux morceaux pour quelle soit continue sur [0,3] puis on applique Weierstrass dessus. Je dis que pour vraiment coller à la démo que je connais il faut aussi la prolonger pour qu'elle valle zéro. Erreur dans le plan : pour la continuité des translations j'ai supposé f seulement mesurable, on me demande, comment doit être f plutôt ? Je dis L1 ! Il me réponds mais encore ? Lp pardon !!! Voilà c'est ça. Questions sur le théorème de Plancherel (dans le plan) Je l'ai énoncé sur l'espace de Schwarz, alors que c'est sur L2 on me dit de préciser. Je réponds que on le démontre dans S(R) puis, par densité on l'étends à L2. On me dit comment ? Je réponds que les fonctions C infini à support compact sont denses dans L2 d'après mon développement, et sont inclusent dans S(R) qui est aussi inclus dans L2, donc S(R) est dense. Définition de l'espace de Schwarz ? J'écris au tableau. A quoi il sert ? Pourquoi on prends pas les fonctions test par exemple pour prolonger la transformée de Fourier ? Car l'espace de Schwarz est stable par transformée de Fourier ce qui est indispensable pour démontrer le théorème Plancherel. Démontrer riemann lebesgue qui est dans mon plan comme application du développement 2. Un exercice : Calculer la limite quand x tend vers + infini de : \int_R |f(x+t)- f(t) | dt (Convergence dominée) J'ai pas vu tout de suite donc j'ai dis il faut utiliser mon développements 2,on le fait pour les fonctions test d'abord, j'écris avec le support puis il m'aide un peu mais je comprends pas où ils veulent aller puis je dit ah c'est une convergence dominée ! Il me dit oui alors comme c'est bientôt fini pouvez vous énoncer rapidement le théorème et dire comment ça marche ici, j'ai conclu à l'oral au plus vite et c'était fini.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très gentil et agréable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
oui surpris d'avoir pu répondre à toutes leurs questions qui n'étaient pas vraiment difficiles

Note obtenue : 15.0

Leçon choisie : 1527

Autre leçon : Analyse numérique matricielle. Résolution approchée de systèmes linéaires, recherche d’éléments propres, exemples.2021

Développement choisi par le jury : Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai oublié de justifier un calcul de mon développement, un des membres du jury me demande alors d'essayer de le retrouver d'une autre manière que celle annoncée, il m'a fallu du temps pour voir où il voulait en venir. (Avec les notations du Gourdon: il fallait exprimer $\frac{\partial^2 F(a,b)}{\partial a^2}(x,x)$ à l'aide de $B_n(x)$ et $B_n(x^2)$) On me demande ensuite comment en déduire Weierstrass, je donne la réponse sans problème (on paramétrise l'intervalle à l'aide de l'intervalle $[0,1]$). On me demande si le résultat est encore vrai sur $\mathbf{R}$, je répond que mon intuition me dit non mais que je n'ai pas de contre-exemple (mais je dis que le problème risque d'être en l'infini puisque la limite en l'infini le module d'un polynôme tends vers l'infini). On me suggère d'utiliser le critère de Cauchy uniforme, je dis donc que si une suite de polynôme converge uniformément sur $\mathbf{R}$ à partir d'un certain rang tous les polynômes sont de même degré, et même (il m'a fallu de l'aide pour le voir) que les polynômes ne diffèrent que d'une constante $c_n$. On me demande alors de conclure et... je n'y arrive pas (alors que, en y regardant après, c'est tout bête). On commence ensuite un exercice. On me demande de tracer la fonction $f$, $2\pi$-periodique défini sur $]0,2\pi [$ par $t \longmapsto \pi - t$ et qui vaut $0$ en $0$. On me demande de donner, sans calcul, un des coefficient de sa série de Fourier, je donne $c_0(f)=0$. On me dit que c'est vrai et on me fait remarquer que dans mon plan je l'ai présenté en utilisant (sans le dire) les $a_n$ et les $b_n$, c'était donc ce qui était attendu. On me dit également que les $a_n(f)$ valent $0$, je le justifie en disant que c'est parce-que $f$ est impaire. On me demande ensuite si je connais un critère de convergence de la série de Fourier, évidemment je donne Fejer en rigolant un peu tout en mentionnant que ca ne s'appliquera pas ici. Je parle ensuite de Dirichlet, je dis que la fonction doit être continue par morceaux, on me demande si c'est le cas, je dis que non, on me demande la définition, je la donne et je me corrige, et je parle d'une espèce de condition sur le taux d'accroissement que je n'arrive pas à retrouver, et on ne me laisse pas vraiment le temps de le faire. On me demande alors d'estimer la vitesse de convergence de la série de Fourier de $f$ vers $f$, j'ouvre grand les yeux en me demandant pourquoi poser une question pareil puis on me suggère de donner la norme de $f$. Je mentionne Parseval qu'on me demande d'écrire, j'y arrive péniblement et après quelques corrections du jury. On me demande ensuite d'exprimer les coefficients $c_n(f')$ en fonctions des $c_n(f)$, je dis ne plus me souvenir de la formule mais que je peux la retrouver par IPP, IPP dans laquelle évidemment je fais une erreur, on en reste là pour cet exercice. Pour finir on revient sur mon plan, j'y présentais le théorème donnant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit développable en séries entières au voisinage d'un point, on me demande si je peux en déduire une condition suffisante, je dis ne pas en connaître une mais que cela doit pouvoir se retrouver avec la formule de Taylor avec reste intégrale ou Taylor-Lagrange, avec une majoration. On me dit que c'est quelque chose comme ça et l'oral se termine là dessus.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
L'un des membres du jury avait l'air agacé par le temps que je mettais à répondre. Pour que je puisse répondre, ce membre me parlait très régulièrement pour me donner des indications ou pour redonner le cadre du problème / ce qui avait déjà été fait, ce qui avait pour effet paradoxale de m'empêcher de réfléchir (mais je suis sûr que ça partait d'une bonne intention). Les autres membres du jury était bienveillant. L'un d'entre eux prenait le temps de m'encourager à écrire au tableau et à creuser les pistes que j'évoquais.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je suis arrivé très stressé dans la salle et cela a impacté mon oral: quelques cafouillages pendant la défense de plan et surtout une séance de questions bien plus laborieuse qu'elle n'aurait dû être. Mon erreur a été, je pense, de ne pas profiter du temps entre la préparation et l'oral pour me détendre mais d'avoir voulu profiter de ce temps pour préparer ma défense de plan et réviser mes développements. À posteriori, je me rends également compte qu'il fallait que je prenne le temps de faire quelques révisions sur les séries de Fourier pendant ma préparation.

Note obtenue : 8.25

Leçon choisie : 1527

Autre leçon : Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.2025

Développement choisi par le jury : Équation de la chaleur sur le cercle

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Question sur le développement : Que peut-on dire du comportement de la solution en temps infini? On note f la température initiale. On montre que l'unique solution obtenue u(t,x) converge uniformément pour x dans [0,2pi] vers c_0(f) (la moyenne de f sur la barre) lorsque t tend vers l'infini. Questions, exercices : — Soit f ∈ C∞(R) telle qu’il existe un polynôme P de degré impaire vérifiant pour tout entier m et tout réel x : |f(m)(x)|≤|P(x)|. Que peut-on dire de f ? Réflex : P possède une racine x0. On obtient f(m)(x0)=0 pour tout m. Soit x réel. La formule de Taylor reste intégral à l’ordre m entre x0 et x permet d'avoir la majoration |f(x)|≤ |x−x0|^(m+1) / m! ||P||∞ qui converge vers 0 lorsque m tend vers l'infini. Conclusion : f est nulle. — Soit f ∈ C1([0,1]). Peut-on trouver une suite de polynômes (Pn) telle que Pn → f et Pn' → f' uniformément sur [0,1] ? J’ai proposé des pistes qui n’aboutissaient pas. Le jury m’a beaucoup aidé. Il suffisait de considérer (Qn) suite de polynômes convergeant vers f' uniformément sur [0,1]. Puis d’introduire Pn la primitive de Qn valant f(0) en 0, de sorte que Pn' = Qn est un polynôme. Et, par convergence uniforme de (Qn) vers f', on a effectivement Pn → f uniformément. — Expliquez-nous le théorème de Chudnovsky pour [a,b] ne contenant pas d’entier. Le jury est sympa. Pour me racheter, il me demande un théorème de mon plan. C’est mon troisième développement pour cette leçon. Je leur explique la preuve que l’on trouve dans le FGN Analyse 2.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury bienveillant. Il faut absolument entretenir un dialogue entre vous et le jury. Même si vous bloquez, n'hésitez pas à lui proposer des pistes de réflexions, il vous guidera ensuite.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Préparation : Pendant la préparation, je commence par réécrire mes développements (environ 45 min). Cela me permet de mettre ensuite dans mon plan les propriétés importantes intervenants dans les deux preuves. Il est préférable d’assurer 15 min de sa présentation que de vouloir rajouter une nième propriété que le jury ne lira sans doute pas. Ensuite, j’écris et j’apprends les preuves de mon plan pendant 2h. Puis il me reste un peu moins de 10 min pour relire mes développements, le temps qu’ils fassent les photocopies. Pour la défense du plan, je rédige les deux premières phrases qui me permettront de me lancer devant le jury. Je termine d’y réfléchir entre la salle de préparation et la salle de passage. Passage : Lors de la défense du plan, mettez-y du cœur et utilisez le tableau. J'ai l'impression que c'est très apprécié. Développement réalisé en 15 min pile sur un grand tableau à craie. Quand on a bien répété nos dev il n'y a pas de surprise à avoir, notamment sur les questions. Si vous choisissez tel ou tel dev, aucun doute ne doit transparaître lors de la présentation. Pendant l'année, faites les questions / exercices associés à vos dev. Dans mon plan j'ai parlé d'analyse complexe et du théorème de Runge et aussi (bien sur) de série de Fourier, de polynômes trigonométrique ... Aucune questions sur ces sujets. Le jury a préféré rester sur une approximation polynomiale sur des segments de R. Que ce soit sur les questions ou les exercices, on est resté sur du basique.

Note obtenue : 17.25

Leçon choisie : 1527

Autre leçon : Transformation de Fourier. Applications.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Fejer

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Juste après mon développement, j'ai eu droit aux questions suivantes : -Pourquoi t --> ||tau_{t}f - f|| est continue ? Réponse : par densité de C_2pi dans L1_2pi -Que pouvez-vous dire de deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier ? Réponse : Elles sont égales presque partout par injectivité du Fourier -Montrez l'injectivité du Fourier. Réponse : On utilise Féjer. Ensuite un exercice : Soit f dans C2pi, on considère I= { f convolée avec g, g dans C2pi}. Montrez que I est dense dans C2pi. Réponse : Il faut utiliser les coefficients de Fourier, et on trouve qu'une condition pour que ce soit dense c'est que les coefficients de Fourier de f ne soit jamais nuls. Ils m'ont demandé un exemple de fonction dont les coefficients ne sont jamais nuls mais je n'ai pas trouvé. Ensuite un autre exercice: On prend la somme de n=1...N de f(x+n\alpha). Avec \alpha irrationnel et f dans C2pi. Montrez que ca converge vers l'intégrale de f quand N tend vers l'infini. Il faut prendre une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f et montrer l'hypothèse avec un polynome trigo. Ensuite, il faut passer à la limite. Et ça c'est terminé sur ça.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très désagréable, cassant et agressifs. Il y avait deux monsieurs qui me posaient des questions sans arrêt et ne me laissaient jamais réfléchir et une femme muette

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 14.0

Leçon choisie : 1527

Autre leçon : Méthodes d'approximation des solutions d'une équation $F(X) = 0$. Exemples.2016

Développement choisi par le jury : Équation de la chaleur sur le cercle

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Beaucoup de questions sur mon développement, des exercices de convergence dominée et de dérivation sous l'intégrale sur lesquelles j'ai buggué comme un gros nul Déroutant, d'autant plus que j'avais bien préparé cette leçon et mis des exemples originaux sur lesquels je voulais être questionné.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Bizarre. Beaucoup de questions de bases.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas content ... J'ai donné mauvaise impression au début et j'ai jamais vraiment eu le temps de remonter.

Note obtenue : 9.25