206 - Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.2025
Rapport du jury 2023
(Rapport 2022) \r\rCette leçon d'exemples sera pour le candidat l'occasion d'une réflexion sur de nombreuses parties du\rprogramme.\r\rEn topologie, il s'agit bien sûr des propriétés spécifiques aux espaces normés de dimension finie, notamment l'utilisation des valeurs d'adhérence, l'équivalence des normes ou encore l'identité entre parties\rcompactes et parties fermées et bornées. D'autres champs d'application sont : la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue sur $R^d$), le calcul différentiel (utilisation de matrices jacobiennes, espaces\rtangents, extrema liés, etc.), les équations différentielles linéaires, les séries de Fourier et plus généralement l'approximation dans un espace préhilbertien séparable par projection sur des sous-espaces de\rdimension finie.\r\rLes candidats solides pourront aborder la question de l'unicité de la meilleure approximation uniforme\rd'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, ou les liens entre\rla régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire\rdes fonctions rationnelles. D'autres pistes possibles sont l'étude des propriétés spectrales des opérateurs\rcompacts, ou le théorème de Grothendieck sur les sous-espaces fermés de $L^p$ contenus dans $L^\infty$.
Afficher les anciens rapports
Développements
Plans
Rajouter une version
Utilisateur : Julos
La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.
Plan semi détaillé.
Il faut vendre le calcul différentiel et les équations différentielles comme une utilisation de la dimension finie dans ces domaines. J'ai rien écrit pour les équations différentielles, je savais pas trop quoi mettre (j'avais pas encore fait les leçons d'équations différentielles), mais on peut dire pas mal de choses, à voir la place qu'il reste et l'affinité qu'on a avec ce domaine des maths.
Références :
Utilisateur : Théo Ternier
Voici un plan possible pour la leçon 206.
Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)
Références :
Analyse
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1
Petit guide de calcul différentiel
Utilisateur : Tintin
Il faut montrer dans cette leçon l'importance de la dimension finie dans plusieurs contexte en montrant explicitement ses apports.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Analyse
Tout-en-un MP/MP*
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie
Topologie générale et espaces normés
Analyse numérique et équation différentielle
Utilisateur : Mathis Lemay
C'est une leçon qui n'est pas très facile à faire, je conseillerais de la faire plutôt vers la fin de l'année pour avoir du recul sur plusieurs choses.
Il faut évidemment parler des résultats topologiques (normes équivalentes et toutes les conséquences) et après on a le choix entre plein de choses. Les opérateurs compacts ne sont pas obligatoires évidemment mais la dimension finie donne un beau résultat de théorie spectrale sur ces opérateurs.
J'ai peut-être un peu trop forcé sur les résultats hilbertiens parce qu'ils ne sont pas vraiment propres à la dimension finie mais aux Hilbert en général... Le fait de placer ça ici peut être motivé par plusieurs choses : en 2e année quand on n'a pas encore les Hilbert, on présente ces résultats dans le cadre euclidien et on a la projection, la décomposition de l'espace en somme d'un sous-espace et de son orthogonal, et surtout la dimension finie rend le calcul de l'adjoint trivial : il suffit de prendre la transposée de la matrice ! Alors qu'en général, l'adjoint d'un opérateur n'est pas facile à déterminer...
On peut développer plus la partie interpolation et polynôme de meilleure approximation mais n'étant pas ultra à l'aise là dessus je me suis contenté de cela.
Après la partie calcul diff me semble indispensable... Et les équa diff c'est si on veut...
Références :
Analyse
Topologie générale et espaces normés
Analyse numérique et équation différentielle
Elements d'analyse fonctionnelle
Équations différentielles
Utilisateur : TC&WM
Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
Bonne preparation à vous !
Références :
Utilisateur : Hugo
La partie II. 1. est un peu compliquée à justifier ici à mon sens, mais est en même temps nécessaire pour aborder les séries de Fourier et les polynômes trigonométriques.
Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
Références :
Utilisateur : Bertin Thomas
Une leçon où on peut mettre beaucoup de choses. Il faut en profiter pour mettre seulement ce sur quoi on se sent à l'aise.
Références :
Analyse
Cours d'analyse fonctionnelle
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions
Équations différentielles
Analyse pour l'agrégation
Utilisateur : Demesmay
Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
Références :
Utilisateur : Agent B0
On peut remplacer Arnaudies par une version récente de Grifone.
Références :
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre
Cours d'analyse fonctionnelle
Objectif Agrégation
Elements d'analyse fonctionnelle
Analyse
Utilisateur : JULIEN L
Les références sont à la fin du plan
Références :
Algèbre
Analyse
Objectif Agrégation
Utilisateur : EWna
Plan éprouvé par une présentation durant l'année.
Références :
Analyse
Objectif Agrégation
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels
Analyse numérique et équation différentielle
Petit guide de calcul différentiel [Doublon]
Utilisateur : Crépusculaire
Références :
Analyse
Cours d'analyse
Petit guide de calcul différentiel
Cours d'analyse fonctionnelle
Utilisateur : Laeti
Références en fin de plan.
C’est une leçon très vaste dans laquelle on peut mettre beaucoup de choses. J’ai choisi de me concentrer sur les espaces vectoriels normés, le calcul différentiel et les espaces préhilbertiens, avec les séries de Fourier. En partie IV, je donne d’autres applications possibles.
Développements :
1) Équivalence des normes et théorème de Riesz [je ne l’ai pas encore appris, si c’est trop court je rajouterai le contre-exemple 4]
2) Lemme de Morse
Plan :
I. Espaces vectoriels normés
1) Toplogie
2) Applications linéaires
3) Compacité
II. Calcul différentiel
1) Différentielle et dérivée partielle
2) Théorème d’inversion locale et lemme de Morse
III. Espaces préhilbertiens et séries de Fourier
1) Projection orthogonale dans un espace préhilbertien
2) Application aux séries de Fourier
IV. Autres applications possibles
1) Optimisation en dimension finie
2) Équations différentielles
On aurait aussi pu parler de la mesure de Lebesgue. Le Briane Pagès le fait très bien. De même, dans la partie Calcul Différentiel, on peut aussi évoquer les matrices jacobiennes (c’est fait dans le Gourdon) et les espaces tangents pour aller plus loin.
On peut aussi taper dans des notions plus difficiles (notamment dans tout ce qui est lié aux opérateurs) mais mon niveau ne me le permet pas xD
Références :
Analyse
Algèbre
Objectif Agrégation
Petit guide de calcul différentiel
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications