250 - Transformation de Fourier. Applications.2025

Rapport du jury 2022

Cette leçon est consacrée à l'analyse de Fourier sur la droite réelle. Au niveau de l'agrégation, elle peut être abordée dans trois cadres : $L^1$, classe de Schwartz des fonction $C^\infty$ à décroissance rapide, ou $L^2$. Les deux derniers points de vue sont les plus satisfaisants du point de vue de la symétrie obtenue, le dernier étant le plus délicat. Cette leçon exige donc une préparation soigneuse. \r\rLes candidats ne manqueront pas d'illustrer leur leçon par quelques applications significatives : formule sommatoire de Poisson et ses applications, résolution d'équations aux dérivées partielles, etc. Bien entendu, les fonctions caractéristiques et leurs applications en probabilités ont toute leur place dans cette leçon.\r\rLe fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$.\r\rDe nombreux candidats proposent comme développement le théorème d'échantillonage de Shannon, ce qui est pertinent, à condition d'avoir bien compris qu'il traduit une isométrie entre deux espaces de Hilbert.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser aux vecteurs propres de la transformée de Fourier sur $L^2(R)$, à la non-dérivabilité de la fonction de Weierstrass dans le cas le plus général, à l'algèbre de convolution $L^1(R)$, au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, aux principes d'incertitude, etc.

Rapport du jury 2019

Cette leçon offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect « séries de Fourier» n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais sur $\textbf{R}$ ou $\textbf{R}^d$. $\\$ La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telles que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. On ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. Les candidats doivent savoir démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction intégrable. $\\$ La formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ est attendue ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calculs de transformations de Fourier classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ paraissent nécessaires. $\\$ Pour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(\textbf{R}^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être donnés dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale de $\frac{1}{x}$. Dans un autre registre, il est aussi possible d’orienter la leçon vers l’étude de propriétés des fonctions caractéristiques de variables aléatoires. $\\$ La résolution de certaines équations aux dérivées partielles telles que, par exemple, l’équation de la chaleur sur $\textbf{R}$, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions.

Rapport du jury 2017

Cette leçon offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect « séries de Fourier» n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais sur $R$ ou $R^d$. \r\rLa leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. Les candidats doivent savoir montrer le lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction intégrable.\r\rLa formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ est attendue ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$, paraissent nécessaires.\r\rPour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale. \r\rLa résolution de certaines équations aux dérivées partielles telle que, par exemple, l’équation de la chaleur sur\rR, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions. \r\rDans un autre registre, il est aussi possible d’orienter la leçon vers l’étude de propriétés de fonctions caractéristiques de variables aléatoires.

Rapport du jury 2016

Cette leçon, fusionnée avec la 254, est remplacée par la 250 dont voici le rapport.\r\rCette leçon, reformulée pour la session 2017, offre de multiples facettes. Les candidats peuvent adopter différents points de vue : $L^1$, $L^2$ et/ou distributions. L’aspect “séries de Fourier” n’est toutefois pas dans l’esprit de cette leçon ; précisons aussi qu’il ne s’agit pas de faire de l’analyse de Fourier sur n’importe quel groupe localement compact mais bien sur $R$ ou $R^d$ . La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$ . En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C’est bien une leçon d’analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait,\rmême sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. \r\rLa formule d’inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ sont attendues ainsi que l’extension de la transformée de Fourier à l’espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier, classiques comme la gaussienne ou $(1+x^2)^{-1}$ , paraissent nécessaires. \r\rPour aller plus loin, la transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées peuvent être abordées. Rappelons une fois de plus que les attentes du jury sur ces questions restent modestes, au niveau de ce qu’un cours de première année de master sur le sujet peut contenir. Le fait que la transformée de Fourier envoie $S(R^d)$ dans lui même avec de bonnes estimations des semi-normes doit alors être compris et la formule d’inversion de Fourier maîtrisée dans ce cadre. Des exemples de calcul de transformée de Fourier peuvent être données dans des contextes liés à la théorie des distributions comme par exemple la transformée de Fourier de la valeur principale.\r\rLa résolution de certaines équations aux dérivées partielles telle que, par exemple, l’équation de la chaleur, peut être abordée, avec une discussion sur les propriétés qualitatives des solutions.

Rapport du jury 2015

Cette leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de $L^1$. En ce qui concerne la transformation de Fourier, elle ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C'est bien une leçon d'analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien entre la régularité de la fonction et la décroissance de sa transformée de Fourier doit être fait, même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. La formule d'inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ ainsi que les inégalités de Young sont attendues ainsi que l'extension de la transformée de Fourier à l'espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier paraissent nécessaires.Les candidats solides peuvent aborder ici la résolution de l'équation de la chaleur, de Schrödinger pour des fonctions assez régulières, ou la détermination des solutions élémentaires du Laplacien ou de l'opérateur $k^2 - \frac{ d^2}{dx^2}$.La transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées trouvent leur place ici mais sont réservées aux candidats aguerris. On peut aussi considérer l'extension de la transformée de Fourier à la variable complexe, riche d'applications par exemple dans la direction du théorème de Paley-Wiener.

Rapport du jury 2014

Cette leçon ne doit pas se limiter à une analyse algébrique de la transformation de Fourier. C'est bien une leçon d'analyse, qui nécessite une étude soigneuse des hypothèses, des définitions et de la nature des objets manipulés. Le lien régularité de la fonction et décroissance de sa transformé de Fourier doit être fait même sous des hypothèses qui ne sont pas minimales. \r\rLa formule d'inversion de Fourier pour une fonction $L^1$ dont la transformée de Fourier est aussi $L^1$ ainsi que les inégalités de Young sont attendues ainsi que l'extension de la transformée de Fourier à l'espace $L^2$ par Fourier-Plancherel. Des exemples explicites de calcul de transformations de Fourier paraissent nécessaires. \r\rLes candidats solides peuvent aborder ici la résolution de l'équation de la chaleur, de Schrödinger pour des fonctions assez régulières, ou plus délicats la détermination des solutions élémentaires du Laplacien ou de l'opérateur $k^2 - \frac{d^2}{dx^2}$ . \r\rLa transformation de Fourier des distributions tempérées ainsi que la convolution dans le cadre des distributions tempérées trouve sa place ici mais est réservé aux candidats aguerris. On peut aussi considérer l'extension de la transformée de Fourier à la variable complexe, riche d'applications par exemple dans la direction du théorème de Paley-Wiener. \r