220 - Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.2026

Rapport du jury 2024

La théorie de Cauchy-Lipschitz non linéaire est le fondement de cette leçon, et comporte plusieurs points importants : passage du local au global, phénomènes d'explosion en temps fini, etc. La leçon étant orientée vers l'étude d'exemples, il convient d'éviter cependant de consacrer une trop large portion du plan à des théorèmes généraux. Le nombre des exemples proposés aura avantage à être restreint : il ne s'agit pas de présenter une longue compilation d'exemples à peine effleurés, mais d'en analyser avec soin un petit nombre, choisis pour leur intérêt et dans un souci d'illustrer des méthodes variées. Des exemples de résolutions explicites peuvent bien sûr être proposés, mais l'intitulé appelle également des études qualitatives d'équations différentielles non linéaires d'ordre 1 ou 2, par exemple l'étude qualitative de systèmes autonomes plans. Il est important d'avoir compris comment l'étude d'une équation d'ordre 2 se ramène à celle d'un système différentiel d'ordre 1. Dans les exemples d'études proposés, on a tout intérêt à faire des dessins (portrait de phase par exemple) et à mettre en évidence l'utilisation d'éléments géométriques pour construire l'allure des trajectoires : symétries, champs de vecteurs, points d'équilibre, barrières, isoclines, intégrales premières. Les candidates et candidats solides pourront s'intéresser au problème de linéarisation au voisinage d'un point d'équilibre ou au théorème de Poincaré-Bendixson.

Rapport du jury 2022

Cette leçon nécessite d'être soigneusement préparée. Bien entendu, la théorie de Cauchy-Lipschitz non linéaire y occupe une place centrale. Elle comporte plusieurs points subtils (passages du local au global, phénomènes d'explosion en temps fini) qui requièrent une attention particulière. Cette leçon ne doit pas être abordée avec un point de vue purement formel, en se limitant aux énoncés et preuves des théorèmes fondamentaux. L'intitulé appelle clairement des études qualitatives d'équations différentielles non linéaires d'ordre 1 ou 2, sans forcément toujours se limiter au pendule ou au modèle de Lotka-Volterra. Il est important d'avoir compris comment l'étude d'une équation d'ordre 2 se ramène à celle d'un système différentiel d'ordre 1. Dans les exemples d'études proposés, on aura tout intérêt à mettre en évidence l'utilisation d'éléments géométriques : champs de vecteurs, points d'équilibre, barrières, isoclines, intégrales premières. Et, bien sûr, à faire des dessins ! Le cas autonome mérite une attention particulière, avec en particulier la recherche de trajectoires périodiques.

Rapport du jury 2019

Pour la session 2020, l’intitulé de cette leçon devient $\\$ \"Équations différentielles ordinaires. Exemples de résolution et d’études de solutions en dimension 1 et 2.\" $\\$ Cette reformulation a pour but de mettre en garde sur le fait que la résolution explicite de certaines équations différentielles standard telles que $y'=y^2$ ou $y''+ay'+by=\cos(\omega t)$ pose des difficultés à de trop nombreux candidats ; il est important de disposer de méthodes de résolution efficaces. Mais le jury souhaite que les candidats soient conscients que la résolution exacte de telles équations est rare et qu’ils soient donc capables de mener une étude qualitative des solutions sur des exemples et éventuellement d’envisager des stratégies d’approximation numérique des solutions. $\\$ Le jury note un effort sur la maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz ; sa démonstration dans le cadre le plus général est délicate : elle est souvent mal maîtrisée. Une preuve dans le cas globalement lipschitzien constitue déjà un développement appréciable. Le jury attire l’attention sur les notions de solution maximale et de solution globale qui sont souvent confuses. Bien qu’ils ne soient pas souvent mentionnés, le lemme de Grönwall a toute sa place dans cette leçon ainsi que le théorème de sortie de tout compact. $\\$ L’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en œuvre sur des exemples concrets. Il est souhaitable de produire des exemples d’équations non-linéaires qui pour certaines permettent une résolution exacte et pour d’autres donnent lieu à une étude qualitative (dont on rappelle qu’elle doit être préparée et soignée). Pour les équations autonomes, la notion de point d’équilibre permet des illustrations pertinentes comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase alors que l’intitulé de la leçon y invite clairement. $\\$ Le nouvel intitulé est aussi une invitation plus franche à évoquer les problématiques de l’approximation numérique en présentant le point de vue du schéma d’Euler et de sa convergence notamment, voire, pour les candidats qui le souhaitent, d’autres schémas qui seraient mieux adaptés à l’exemple présenté. On peut aller jusqu’à aborder la notion de problèmes raides et la conception de schémas implicites pour autant que le candidat ait une maîtrise convenable de ces questions.

Rapport du jury 2017

C’est l’occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s’alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu’un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou, plus grave, mélanger les conditions sur la variable de temps et d’état. La notion de solution maximale et le théorème de sortie de tout compact sont nécessaires. Bien évidemment, le jury attend des exemples d’équations différentielles non linéaires. Le lemme de Grönwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est trop rarement énoncé. L’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en œuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d’équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase alors que le sujet y invite clairement. Il est possible d’évoquer les problématiques de l’approximation numérique dans cette leçon en présentant le point de vue du schéma d’Euler . On peut aller jusqu’à aborder la notion de problèmes raides et la conception de schémas implicites pour autant que le candidat ait une maîtrise convenable de ces questions.

Rapport du jury 2016

C’est l’occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s’alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu’un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou plus grave, mélanger les conditions sur la variable de temps et d’espace. La notion de solution maximale et le théorème de sortie de tout compact sont nécessaires. Bien évidemment, le jury attend des exemples d’équations différentielles non linéaires. Le lemme de Grönwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est curieusement rarement énoncé. L’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en œuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d’équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase alors que le sujet y invite clairement. Pour aller plus loin, il est possible d’évoquer les problématiques de l’approximation numérique dans cette leçon en présentant le point de vue du schéma d’Euler. On peut aller jusqu’à aborder la notion de problèmes raides et la conception de schémas implicites pour autant que le candidat ait une maîtrise convenable de ces questions.

Rapport du jury 2015

C'est l'occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s'alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu'un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou plus grave, mélanger les conditions sur la variable de temps et d'espace. La notion de solution maximale et le théorème de sortie de tout compact sont nécessaires. Bien évidemment, le jury attend des exemples d'équations différentielles non linéaires. Le lemme de Gronwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est curieusement rarement énoncé. L'utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en oeuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d'équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase. Enfin, il n'est pas malvenu d'évoquer les problématiques de l'approximation numérique dans cette leçon par exemple autour de la notion de problèmes raides et de la conception de schémas implicites pour autant que la candidat ait une maîtrise convenable de ces questions.

Rapport du jury 2014

C'est l'occasion de rappeler une nouvelle fois que le jury s'alarme des nombreux défauts de maîtrise du théorème de Cauchy-Lipschitz. La notion même de solution maximale d'un problème de Cauchy est trop souvent mal comprise. Il est regrettable de voir des candidats ne connaître qu'un énoncé pour les fonctions globalement lipschitziennes ou plus grave, mélanger les conditions sur la variables de temps et d'espace. La notion de solution maximale et le théorème de sorties de tout compact sont nécessaires. Le lemme de Gronwall semble trouver toute sa place dans cette leçon mais est curieusement rarement énoncé. L'utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz doit pouvoir être mise en oeuvre sur des exemples concrets. Les études qualitatives doivent être préparées et soignées. Pour les équations autonomes, la notion de point d'équilibre permet des illustrations de bon goût comme par exemple les petites oscillations du pendule. Trop peu de candidats pensent à tracer et discuter des portraits de phase. Enfin, il n'est pas malvenu d'évoquer les problèmatiques de l'approximation numérique dans cette leçon par exemple autour de la notion de problèmes raides et de la conception de schémas implicites pour autant que la candidat ait une matrîse convenable de ces questions.