Un théorème de Cartan et Von Neumann

$\textbf{Théorème}$. Soit $G$ un sous-groupe fermé de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$, alors $G$ est une sous-variété de $\mathbb{R}^{n^2}$ dont l'espace tangent en l'identité est donné par : $$\mathfrak{g}:=\{X\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\textrm{ t.q. }\forall t\in\mathbb{R},\exp(tX)\in G\}.$$