Utilisateur : Louis D

Un développement assez compliqué quand on commence à le travailler, mais ensuite, les étapes se retiennent plutôt facilement. Il a l'air très long (il l'est d'ailleurs) mais il y a certaines étapes qu'on peut passer rapidement à l'oral pour ne pas les écrire, même s'il faut savoir les détailler en cas de besoin a posteriori. Attention aux coquilles.'

Un développement plutôt sympathique, on n'a pas l'habitude de voir de telles hypothèses. Il est accompagné d'une application. La page exacte de la référence (2ème édition) est disponible dans le document. Attention aux coquilles.'

Un développement compliqué, mais vraiment très rentable à mes yeux. Ceci dit, ma version n'est pas ultra complète : le jury pourra poser des questions de géométrie différentielle que j'ai du mal à prévoir. N'hésitez pas à regarder les autres versions, elles seront sans doute très utiles en complément. (Les recasages en 148 et 206 sont discutables...) Attention aux coquilles.'

Un développement que j'apprécie tout particulièrement. Il y a un argument de la référence que je n'utilise pas pour l'injectivité, j'utilise un lemme que je démontre avant, mais c'est juste que je n'aime pas passer par une diagonalisation simultanée (c'est un argument trop fort pour ce qu'on veut dire je trouve, mais chacun ses goûts !). Attention aux coquilles.'

Développement risqué (peut-être même le développement le plus risqué parmi ceux que j'ai), parce qu'il faut connaître quelques bases de la théorie de Galois. Il faut donc absolument savoir en expliquer les motivations, ce qu'est un groupe de Galois, à quoi il sert, quelques propriétés, etc... (je conseille le Berhuy, \"Algèbre : le grand combat\", pour regarder un peu tout ça). Et non, ne pas dire le mot \"Galois\" ne suffit pas pour esquiver tout ça ! Attention aux coquilles.'

Un développement plutôt sympa mais court. Il faut le faire tranquillement et prendre son temps. Le corollaire a une référence (le Gourdon) mais la démonstration n'en a pas. J'ai mis la référence pour l'énoncé seulement. Attention aux coquilles.'

Ma version reprend les références, mais elle reste quand même très différente. En fait, j'ai travaillé le développement à l'aide des références, puis j'ai enlevé les arguments qui ne servaient pas. Au final, j'ai conservé une trame de preuve similaire, mais les détails diffèrent par moments. C'est un développement particulier à travailler avec soin, de mon point de vue. Et aussi, j'ai un peu plus détaillé certains passages passés sous silence par les références. Attention aux coquilles.'

J'ai repris la preuve du théorème un peu plus tard dans l'année pour remplacer le \"trou de serrure\" par un contour bien plus simple ; la référence est en anglais mais ça vaut vraiment le coup, ça simplifie énormément la preuve. Grâce à ça, le développement est largement faisable. Pour information, je l'ai présenté en oral blanc, puis le jour de l'oral. On m'a posé deux questions : 1) Que dire du comportement de la fonction Gamma en 0 ? (Réponse : passer par la formule des compléments, équivalents quand z tend vers 0) 2) Enoncer le principe des zéros isolés. Qu'est-ce qu'un point isolé, au fait ? Attention aux coquilles.'

C'est l'un des rares développements que je n'apprécie pas trop... Mais bon, j'ai dû faire des choix pour avoir des développements là où il faut. Je préfère de loin ma version matricielle à la version endomorphismes de la référence, mais peut-être que la version endomorphismes est plus simple au final. J'ai vraiment du mal avec lui, je le trouve compliqué, mais beaucoup disent qu'il est plutôt facile et rentable. Attention aux coquilles.'

Pas de groupe diédral dans ma version. On démontre la formule de Burnside et on l'utilise pour prouver le théorème de Dixon. En termes de difficulté, c'est assez simple je trouve. Attention aux coquilles.'

Un développement que je fais avec 3 références. C'est beaucoup, et je pense qu'on peut parfaire leur utilisation, mais je voulais garder ma propre convention de la transformation de Fourier pour la preuve, et avoir un schéma de preuve du Queffélec. Mais il est sympa et permet de parler de l'espace de Schwartz (si on le souhaite, ce n'est pas obligé en soi). Il est accompagné d'une application plutôt sympathique. Attention aux coquilles.'

Un développement plutôt tranquille qui donne un résultat remarquable sur la transformation de Fourier (avec la preuve de la transformée de Fourier de la gaussienne en lemme). Attention aux coquilles.'

Un développement vraiment sympa qui reprend quelques techniques classiques niveau L1, pour démontrer la formule de Stirling. Il est plutôt simple ; il faut juste être un peu endurant en calcul de mon point de vue. Attention aux coquilles.'

Un développement qui déroule vraiment bien. Je le trouve vraiment facile (j'ai hésité à le prendre pour cette raison : un développement trop facile ne passe pas trop à l'oral). On démontre un équivalent simple des restes des séries de Riemann convergentes, puis on trouve le développement asymptotique à trois termes de la série harmonique (précision : 1/n). Attention aux coquilles.'

Un développement vraiment long et un peu compliqué, mais plutôt rentable et sympathique. Niveau recasages : il faut faire attention à ceux proposés sur agreg-maths : par exemple, il passe parfaitement dans la 191, et pas vraiment en 122 (non non, l'histoire du polynôme minimal pour recaser le développement dans cette leçon est une arnaque pour moi...). Attention aux coquilles.'

Un développement que je trouve un peu compliqué, mais j'aime beaucoup le résultat, il est plutôt original. Ceci dit, quand on l'a travaillé, ça roule plutôt bien. Attention aux coquilles.'

Un développement plutôt simple niveau difficulté je trouve. Attention aux coquilles.'

Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien. Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. On pourrait reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), mais je ne compte pas le faire. Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références. Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...). Attention aux coquilles.'

Un développement classique. Attention aux coquilles.'

Développement plutôt original portant sur les disques de Gershgörin (localisation de valeurs propres) et une application. Je ne la recase pas en 144 (racines d'un polynôme) parce que ça en parle très peu. Je mettrais plutôt le théorème à titre informatif sans le proposer en développement. Pour moi, sa preuve manque de pertinence dans cette leçon. On pourrait peut-être recaser ce développement en 191 mais cela m'a l'air plutôt abusif... Je dirais que c'est vraiment si on n'a aucune autre alternative. Attention aux coquilles.'

Un développement classique. Je donne un peu plus de détails, mais la preuve du lemme 2 pourrait être passée à l'oral (sauf demande du jury a posteriori). Attention aux coquilles.'

Développement qui ne se recase quasiment pas mais il est plutôt simple. Je l'ai pris principalement parce que je ne savais pas trop quoi prendre d'autre pour la 159... À noter que l'application peut éventuellement être citée dans le plan de la 106 (GL(E)), mais je ne le prends pas en développement, et je doute sur le fait qu'il serait pertinent de le prendre. Cela se discute sans doute mais j'ai fait ce choix-là. Attention aux coquilles.'

La principale difficulté de ce développement est d'en retenir les étapes. À part ça, il est plutôt simple en termes de difficulté. Le recasage en 245 (fonctions holomorphes) est possible (comme je l'ai mis, même si j'ai d'autres développements plus intéressants dessus), mais il faut le motiver : c'est la version faible du théorème, la version forte portant sur des fonctions holomorphes. Je ne l'ai pas recasé en 243 (séries entières), et je ne le conseille pas : de mon point de vue, il y a tellement plus de développements intéressants pour cette leçon que recaser Runge faible dedans pourrait être (vraiment) mal vu de la part du jury. Mais à voir. Attention aux coquilles.'

Cette preuve n'utilise pas le lemme de Slutsky (et elle est référencée !), c'est principalement pour cette raison que je n'ai pas mis ce développement sur la page dédié aux développements sur Stirling par le TCL (où on utilise des variables aléatoires suivant une loi exponentielle cette fois) ; ce n'est tout simplement pas la même preuve. Attention aux coquilles.'

Je n'ai jamais testé ce développement en temps réel : je l'ai travaillé après avoir passé l'agrégation (dans le cadre d'un stage de M2 recherche). Il n'a pas non plus de référence, donc il reste assez risqué : à travailler soigneusement. Ceci dit, il reste très intéressant parce qu'il permet de calculer une décomposition de l'espace fonctionnel $H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N)$ en somme directe. Attention aux coquilles.'

Un développement classique, tombé dans une partie aux écrits il y a quelques années. Il n'est pas difficile de mon point de vue. Je ne le trouve pas non plus très long, mais à la limite vous pouvez passer à l'oral la preuve de l'équivalent de zeta en 0 quitte à la donner si on vous la demande (je parle du début de l'étape 6), mais j'avais tendance à la faire dans tous les cas. Attention aux coquilles.'

Dans ma version : - Je trouve l'unique solution DSE en 0 de l'équation de Bessel (avec condition initiale) ; - Je montre qu'une fonction définie par une intégrale est solution de l'équation de Bessel et est DSE en 0 ; - Je conclus que c'est exactement la solution DSE trouvée au départ. Je donne également une application sur les intégrales de Wallis, ainsi que quelques remarques. Je n'étudie pas le comportement asymptotique des fonctions de Bessel. C'est d'ailleurs la seule digression que je fais vis-à-vis de la référence que j'ai prise mais ça se retient assez bien je trouve. Attention aux coquilles.'

Un développement demandant un peu de dextérité dans les calculs, mais il se fait. L'unique application, basée sur le lemme de Borel-Cantelli, rend peut-être le développement un peu long, n'hésitez pas à passer certaines étapes de calcul un peu pénibles au besoin quitte à revenir dessus pendant les questions du jury. Attention aux coquilles'

Un développement que je trouve difficile bien qu'intéressant. Attention aux remarques que je fais dans ma version, en particulier le fait qu'en dimension finie, le théorème n'a pas d'intérêt. Concernant l'application, j'admets qu'elle est beaucoup trop longue (et en plus pas référencée du tout) donc n'hésitez pas à passer énormément de détails quitte à uniquement donner les idées (et, sur demande du jury, les détailler). Les calculs ne sont pas vraiment utiles pour la présentation de cette application en soi mais les travailler un minimum est forcément utile. On pourrait penser qu'on pourrait oublier l'application, et en vrai ça se défend, mais je ne suis pas de cet avis : ne pas proposer d'application pertinente (i.e. en dimension infinie) de ce théorème représente un risque non négligeable à mes yeux.'

Un développement classique, mais pas si simple par moments. Attention aux coquilles.'

Un théorème sympathique. La théorie de Floquet va bien plus loin que ça, mais bien entendu on ne peut pas autant en parler à l'agrégation (que ça soit en leçon, en développement ou pendant les questions). J'ai préféré créer une version de ce développement à part parce que je ne parle pas de l'équation de Hill. Attention aux coquilles.'

Un développement très joli. Il n'est pas si compliqué que ça, mais il faut le maîtriser : il ne s'improvise pas du tout. C'est un développement que j'ai fait après le concours (dans le cadre d'un stage de M2 recherche). Attention aux coquilles.'

La remarque 2 est à garder en tête sans forcément la dire à l'oral. Elle est surtout là en cas de question. Attention aux coquilles.'

Un développement classique qui se recase à la fois en analyse et en algèbre, donc on dit oui ! Attention, la preuve de la première application n'a pas de référence mais c'est une récurrence qui ne pose pas vraiment de difficulté à mes yeux. Attention aux coquilles.'

Ce développement est extrêmement long. Je pense qu'il faut choisir ce qu'on veut montrer en fonction de la leçon dans laquelle on le présente. Attention aux coquilles.'

Un développement relativement long mais qui se déroule bien une fois qu'on a compris toutes les étapes. Bien sûr, il ne faut pas tout écrire au tableau : choisissez ce que vous voulez montrer au jury. Il se recase beaucoup ! Attention aux coquilles.'

Un développement classique que je porte depuis plusieurs années sur mon dos (depuis le TIPE en prépa en fait...). Je suis tombé dessus le jour de l'oral dans la leçon sur les polynômes irréductibles à une indéterminée, décidément ! Attention aux coquilles. (Il y a trop de pages pour ce développement, que de choix pour y mettre ma version, pfiou !)'

Un développement que j'aime beaucoup ! Mais il faut en connaître les étapes et quelques bribes de calcul pour ne pas être perdu. Par exemple, savoir quel r poser dans la preuve du premier lemme, etc... Attention aux coquilles.'

Je fais la preuve dans le cadre général (pas que dans Z/nZ). A mes yeux, c'est un développement court et plutôt tranquille. Attention aux coquilles.'