Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

https://mathsplaisir.wordpress.com/ Des remarques / questions de jury sont dispo sur le fichier. Bonne préparation ;)'

Un développement que j'aime beaucoup ! Mais il faut en connaître les étapes et quelques bribes de calcul pour ne pas être perdu. Par exemple, savoir quel r poser dans la preuve du premier lemme, etc... Attention aux coquilles.'

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- L'anneau des entiers de Gauss est euclidien, d'inversibles $\{\pm1,\pm i\}$ ; - Un nombre premier $p$ est somme de deux carrés si et seulement si $p = 2$ ou $p \equiv 1\ [4]$ ; - Théorème des deux carrés de Fermat ; - Description des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$. Leçons concernées : 121, 122, 127'

Recasages: 121, 122, 123, 127 Je ne démontre pas le cas pour un entier naturel quelconque, seulement pour un nombre premier. Tous les résultats se démontrent en 14 minutes, sans faire les 2 isomorphismes à la fin.'

Je ne vais pas passer par quatre chemins : c’est mon deuxième développement préféré. Il est technique, mais se comprend et se retient bien. De plus, il possède l’immense avantage de mêler arithmétique, algèbre et géométrie, et vous offre l’opportunité de dessiner, ce qui sera apprécié par le jury.'

Recasages: 121, 126 Je sais qu'il est d'usage de présenter ce théorème pour la 122. Selon moi, sans adaptation, c'est hors sujet, dans la mesure où on utilise de manière critique la <i>factorialité</i> des anneaux en jeu, pas leur <i>principalité</i>. Pour rentrer un minimum dans la 122, voici ce que je recommande: le théorème des deux carrés de Fermat ne doit pas être l'aboutissement du développement, mais seulement un outil intermédiaire pour mener l'étude de $\mathbb{Z}[i]$. On montrera donc que ce dernier est euclidien et le cas premier du théorème des deux carrés de Fermat avant de terminer la liste des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$ (ce dernier point se trouve dans le Perrin, à la suite du théorème). Ça reste contestable pour la 122 puisqu'on n'utilise toujours pas de manière critique la <i>principalité</i> d'un anneau, mais c'est déjà mieux. Dans les 121 et 126, je recommande très vivement d'écrire l'heuristique de la preuve au tableau comme je le fais dans mon document, puisque dans la suite des 8 équivalences qu'on est amené à écrire, 5 sont évidentes (elles relèvent du cours). Ainsi, prendre 2 minutes à écrire cette heuristique permet d'une part de rendre le procédé transparent, et d'autre part de gagner énormément de temps dans la suite. Il ne faut pas perdre de temps avec $\mathbb{Z}[i]$ car il s'écarte du sujet des 121 et 126: on se contentera d'un dessin et des inversible. Perrin p65 (on le trouvera aussi dans Rombaldi p269) Mon site: https://esuong-maths.fr'

Développement bien progressif.'

Attention aux éventuelles coquilles. A voir ce que vous mettez en lemme pour le dev, on peut ajouter/enlever certains lemmes mais il faut bien tout savoir redémontrer.'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

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Il est possible de montrer le résultat, puis de développer certains lemmes selon le temps restant. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.'

Preuve du Gourdon que je trouve plus élémentaire (mais c'est subjectif). Il y a une petite coquille d'ailleurs, pour montrer le lemme 1, dans son livre. Je prends ce développement pour les leçons 121, 122 et 127. (Attention à la 122, la preuve que je fais rends le recasage moins pertinent, je vais voir si je le garde d'ailleurs) On trouvera la preuve aux alentours de la page 50.'

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Recasages : 122,126,121,123 J'ai pas l'impression que ça se fait beaucoup, mais ce dev rentre dans la 123 (je suis pas passée dessus mais je l'avais proposé en dev le jour de l'oral, c'est un dev que le jury connaît bien, et j'ai pas eu de soucis) : c'est une application de l'étude des carrés dans Fq* Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6 Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4'

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Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

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Grand classique qui n'est pas original par rapport a ceux déj présent '

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Bien savoir faire les quotients d'anneaux à la fin.'

Perrin p.56'

\"Les isomorphismes suivant proviennent du théorème d'isomorphisme\" oui bon on va expliciter tout ça hein '

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/'

Leçons 120, 121, 122, 126.'

Je ne démontre que le critère pour $p$ premier mais je justifie l'isomorphisme $$\mathbb{Z}[X]/(X^2+1)/(p)\simeq \mathbb{Z}[X]/(p)/(X^2+1).$$'

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On montre que -1 est un carré modulo p ssi p=2 ou p = 1 (mod 4). On ne traite pas seulement le cas p premier mais également le cas n entier quelconque. '

Dans cette version, on admet les résultats sur les carrés (notamment le fait que -1 est carré modulo p ssi p=2 ou p=1 mod 4).'

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Francinou 1 p.158'

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Version élémentaire n'utilisant pas les isomorphismes.'

Mis à jour le 21.04.17'

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