Fonctions caractéristiques et moments
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note $\varphi_X$ sa fonction caractéristique.
Si $X$ admet un moment d'ordre $n$, $\varphi_X$ est $C^n$ et pour tout $k \in [1, n]$ , on a pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\varphi_X^{(k)}(t) = i^k \int_{\Omega} X^k \exp(itX) dP$. En particulier $\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E[X^k]$.
Si $\varphi_X$ est $k$ fois dérivable en $0$, avec $k \ge 2$, alors $X$ admet des moments jusqu'à l'ordre $2 E(k/2)$ ,où $E(k/2)$ est la partie entière, données par $\mathbb{E} [X^j] = (-1)^j \varphi_X^{(j)} (0)$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 260 | Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.2019 |
| 5 | 218 | Formules de Taylor. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 228 | Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.2026 |
| 5 | 261 | Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications. 2026 |
| 2 | 239 | Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2026 |
Utilisateur : Matteo
C'est un de mes développements préférés. (Au risque de me répéter il ne faut pas avoir peur des probas) Comme un con j'ai oublié le noter dans le fichier mais je le recase en 218, 228, 234 et 239. Si vous le prenez, je pense qu'il faut s'attendre à ce que le jury parte sur la voie de \"dans quelle mesure une var. aléatoire est-elle caractérisée par ses moments ?\". Ah oui et le contre exemple est un développement à lui tout seul donc il faut éventuellement mme connaître et avoir une petite idée de la preuve mais ce n'est pas trivial. '
Références :
Probabilités 2\r - Ouvrard
Utilisateur : Méthivier
Je fais la preuve classique du Ouvrard et j'enchaîne sur le TCL (en supposant Paul Lévy). La version n'a pas grand chose d'originale si ce n'est pour la partie TCL où je passe par le log complexe, ce que beaucoup de gens semblent ne pas faire. Attention aux coquilles'
Références :
Probabilités - Barbe-Ledoux
Probabilités 2\r - Ouvrard