Evènements rares de Poisson

Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, une famille finie $\{A_{n,j}, 1\leq j\leq M_n\}$ d'évènements indépendants définis sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On pose $\mathbb{P}(A_{n,j})=p_{n,j}$ et on note\r\[S_n=\sum_{i=1}^{M_n}\chi_{A_{n,j}}.\]\rOn suppose que\r • $(M_n)$ tend en croissant vers $+\infty$ \r • $\underset{1\leq j\leq M_n}{\max}p_{n,j}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$.\r • $\sum_{j=1}^{M_n}p_{n,j}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\lambda>0$.\rAlors la suite $(S_n)$ converge en loi vers la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$.