103 - Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2025

Rapport du jury 2023

Dans un premier temps, la notion de conjugaison dans un groupe doit être introduite, développée et illustrée dans des situations variées. On doit proposer des situations où la conjugaison aide à résoudre certains problèmes (par exemple, en transformant un élément en un autre plus simple à manipuler). On peut aussi illustrer et utiliser le principe du \"transport par conjugaison\" voulant que $hgh^{-1}$ ait la même \"nature géométrique\" que $g$.\r\rEnsuite, il est attendu de développer l'intérêt de la notion de sous-groupe distingué en particulier en regard de la structure de groupe obtenue par quotient d'un groupe, le lien entre sous-groupe distingué et noyau de morphisme de groupes, ainsi que la factorisation d'un morphisme de groupe au travers d'un tel quotient. Il est souhaitable de proposer quelques résultats bien choisis mettant en évidence l'utilisation de ces notions : citons par exemple le lien entre les sous-groupes de l'un et de l'autre et la caractérisation interne des produits directs. L'examen de la simplicité de certains groupes peut être proposé.\r\rComme indiqué dans le sujet, il est demandé de présenter des exemples pertinents utilisés pour obtenir des résultats significatifs. De tels exemples sont nombreux en théorie des groupes mais il est souhaitable d'en proposer dans d'autres domaines, comme en arithmétique, en géométrie et en algèbre linéaire Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions en théorie des représentations des groupes finis (classes de conjugaison et nombres de représentations irréductibles, treillis des sous-groupes distingués lu dans la table de caractères, etc.).\r\rLa notion de produit semi-direct et les théorèmes de Sylow débordent du programme. Il est possible\rde les évoquer, mais en veillant à les illustrer par des exemples et des applications.

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Rapport du jury 2023

Rapport du jury 2022

Dans cette leçon, le jury souhaite que les candidats mettent tout d'abord l'accent sur la conjugaison\rdans un groupe. Ensuite, ils doivent expliciter la structure de groupe obtenue sur le quotient d'un\rgroupe par un sous-groupe distingué.\r\rLa notion de conjugaison doit être illustrée dans des situations variées : groupes de petit cardinal,\rgroupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, groupe linéaire d'un espace vectoriel, groupe affine d'un espace affine, groupe orthogonal, etc. On donne des exemples où la conjugaison aide à résoudre certains problèmes (par\rexemple, en transformant un élément en un autre plus simple à manipuler ou en considérant l'action par\rconjugaison). L'étude des classes de conjugaison de divers groupes peut être menée. Dans le cadre d'une\raction d'un groupe, il faut savoir que les stabilisateurs d'éléments d'une même orbite sont conjugués.\rOn peut aussi illustrer et utiliser le principe du \"transport par conjugaison\" voulant que $hgh^{-1}$\rait la même \"nature géométrique\" que g et que ses caractéristiques soient les images par h des\rcaractéristiques de g (conjugaison d'une transvection, d'une translation, d'une réflexion, etc.).\r\rConcernant la notion de sous-groupe distingué, il faut indiquer en quoi c'est précisément la notion qui\rpermet de munir le quotient d'une structure de groupe héritée. Cette notion permet aussi de donner une\rcaractérisation interne des produits directs. Le lien entre sous-groupe distingué et noyau de morphisme\r$\phi$ est incontournable ainsi que l'isomorphisme $G/Ker \phi \sim Im \phi$. Des exemples bien choisis mettent en évidence comment certains problèmes portant sur l'un des deux groupes G ou $G/H$ peuvent être résolus\ren utilisant l'autre (par exemple, le lien entre les sous-groupes de l'un et de l'autre). L'examen de la\rsimplicité de certains groupes peut être proposé.\r\rIl est important de s'attarder sur l'utilité des notions présentées. Les applications en arithmétique\rsont nombreuses, mais il est pertinent de présenter aussi des applications en géométrie ou en algèbre\rlinéaire. On peut ainsi expliquer comment l'étude des classes de conjugaison permet de démontrer la\rsimplicité de certains groupes comme $SO_n$, étudier le groupe des homothéties-translations distingué\rdans le groupe affine, établir que les groupes orthogonaux de formes quadratiques congruentes sont\rconjugués ou encore qu'un sous groupe compact de $GL(n)$ est conjugué à un sous groupe de $O(n)$. En\ralgèbre linéaire, des propriétés topologiques de la classe de conjugaison d'un endomorphisme permettent\rd'établir son caractère diagonalisable ou nilpotent. Enfin, on peut interpréter le discriminant d'une\rforme quadratique non-dégénérée comme élément du quotient $K^\times / (K^\times)^2$.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions en théorie des représentations\rdes groupes finis (classes de conjugaison et nombres de représentations irréductibles, treillis des sous-\rgroupes distingués lu dans la table de caractères, liens entre représentations de G et de $G/H$, etc.). La\rnotion de produit semi-direct et les théorèmes de Sylow débordent du programme. Il est possible de\rles évoquer, mais en veillant à les illustrer par des exemples et des applications.

Rapport du jury 2020

Dans cette leçon, le jury souhaite que les candidats mettent tout d’abord l’accent sur la conjugaison dans un groupe. Ensuite, ils doivent expliciter la structure de groupe obtenue sur le quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué.\r\rLa notion de conjugaison doit être illustrée dans des situations variées : groupes de petit cardinal, groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, groupe linéaire d’un espace vectoriel, groupe affine d’un espace affine, groupe\rorthogonal, etc. Il est bon de montrer que la conjugaison aide à résoudre certains problèmes (par exemple, en transformant un élément en un autre plus simple à manipuler ou en considérant l’action par conjugaison). L’étude des classes de conjugaison de divers groupes peut être menée. Dans le cadre d’une action d’un groupe, il faut savoir que les stabilisateurs d’éléments d’une même orbite sont conjugués. On peut aussi illustrer et utiliser le principe du « transport par conjugaison » voulant que $hgh^{-1}$ ait la même « nature géométrique » que g et que ses caractéristiques soient les images par h des caractéristiques de g (conjugaison d’une transvection, d’une translation, d’une réflexion, etc.).\r\rConcernant la notion de sous-groupe distingué, il faut indiquer en quoi c’est précisément le concept qui permet de munir le quotient d’une structure de groupe héritée. Cette notion permet aussi de donner une\rcaractérisation interne des produits directs. Le lien entre sous-groupe distingué et noyau de morphisme $\phi$ est incontournable ainsi que l’isomorphisme $G/Ker(\phi) \simeq Im(\phi)$. Des exemples bien choisis mettent en évidence comment certains problèmes portant sur l’un des deux groupes G ou $G/H$ peuvent être résolus en utilisant l’autre (par exemple, le lien entre les sous-groupes de l’un et de l’autre). L’examen de la simplicité de certains groupes peut être proposé.\r\rIl est important de s’attarder sur l’utilité des notions présentées. Les applications en arithmétique sont nombreuses, mais il est pertinent de présenter aussi des applications en géométrie ou en algèbre linéaire. On peut ainsi expliquer comment l’étude des classes de conjugaison permet de démontrer la simplicité de certains groupes comme $SO_n$, étudier le groupe des homothéties-translations distingué dans le groupe affine, établir que les groupes orthogonaux de formes quadratiques congruentes sont conjugués ou encore qu’un sous groupe compact de $GL(n)$ est conjugué à un sous groupe de $O(n)$. En\ralgèbre linéaire, des propriétés topologiques de la classe de conjugaison d’un endomorphisme permettent d’établir son caractère diagonalisable ou nilpotent. Enfin, on peut interpréter le discriminant d’une forme quadratique non-dégénérée comme élément du quotient $K^*/(K^*)^2$.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions en théorie des représentations des groupes finis (classes de conjugaison et nombres de représentations irréductibles, treillis des sous-groupes distingués lu dans la table de caractères, liens entre représentations de G et de $G/H$, etc.). La notion de produit semi-direct et les théorèmes de Sylow débordent du programme. Il est possible de\rles évoquer, mais en veillant à les illustrer par des exemples et des applications.

Rapport du jury 2019

Pour la session 2020 le titre cette leçon évolue en \r\rConjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes\rquotients. Applications.\r\rDans cette leçon, le jury souhaite que les candidats mettent tout d’abord l’accent sur la conjugaison dans un groupe. Ensuite, ils doivent expliciter la structure de groupe obtenue sur le quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué.\r\rLa notion de conjugaison doit être illustrée dans des situations variées : groupes de petit cardinal, groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, groupe linéaire d’un espace vectoriel, groupe affine d’un espace affine, groupe orthogonal, etc. Il est bon de montrer que la conjugaison aide à résoudre certains problèmes (par exemple, en transformant un élément en un autre plus simple à manipuler ou en considérant\rl’action par conjugaison). L’étude des classes de conjugaison de divers groupes peut être menée. Dans le cadre d’une action d’un groupe, il faut penser que les stabilisateurs d’éléments d’une même orbite sont conjugués. On peut aussi illustrer et utiliser le principe du « transport par conjugaison » voulant que $hgh^{-1}$ ait la même « nature géométrique » que $g$ et que ses caractéristiques soient les\rimages par $h$ des caractéristiques de $g$ (conjugaison d’une transvection, d’une translation, d’une réflexion, etc.).\r\rConcernant la notion de sous-groupe distingué, il faut indiquer en quoi c’est précisément la notion qui permet de munir le quotient d’une structure de groupe héritée. Cette notion permet aussi de donner une caractérisation interne des produits directs. Le lien entre sous-groupe distingué et noyau de morphisme $\phi$ est incontournable ainsi que l’isomorphisme $G/Ker(\phi) \simeq Im(\phi)$. Des exemples\rbien choisis mettent en évidence comment certains problèmes portant sur l’un des deux groupes $G$ ou $G/H$ peuvent être résolus en utilisant l’autre (par exemple, le lien entre les sous-groupes de l’un et de l’autre). L’examen de la simplicité de certains groupes peut être proposé.\r\rIl est important de s’attarder sur l’utilité des notions présentées. Les applications en arithmétique sont nombreuses, mais il est pertinent de présenter aussi des applications en géométrie ou en algèbre linéaire. On peut ainsi expliquer comment l’étude des classes de conjugaison permet de démontrer la simplicité de certains groupes comme $SO_n$ , étudier le groupe des homothéties-translations distingué dans le groupe affine, établir que les groupes orthogonaux de formes quadratiques congruentes sont conjugués ou encore qu’un sous groupe compact de $GL(n)$ est conjugué à un sous groupe de $O(n)$. En algèbre linéaire, des propriétés topologiques de la classe de conjugaison d’un endomorphisme permettent d’établir son caractère diagonalisable ou nilpotent. Enfin, on peut interpréter le discriminant d’une forme quadratique non-dégénérée comme élément du quotient $K^*/(K^*)^2$.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions en théorie des représentations des groupes finis (classes de conjugaison et nombres de représentations irréductibles, treillis des sous-groupes distingués lu dans la table de caractères, liens entre représentations de $G$ et de $G/H$, etc.). La notion de produit semi-direct et les théorèmes de Sylow débordent du programme. Il est possible de les évoquer, mais en veillant à les illustrer par des exemples et des\rapplications.

Rapport du jury 2017

Dans cette leçon, il faut non seulement évoquer les notions de groupe quotient, de sous-groupe dérivé et de groupe simple mais surtout savoir les utiliser et en expliquer l’intérêt. On pourra utiliser des exemples issus de la géométrie, de l’arithmétique, de l’algèbre linéaire (utilisation d’espaces vectoriels quotients par exemple). La notion de produit semi-direct n’est plus au programme ; mais, lorsqu’elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple).\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent poursuivre en illustrant ces notions à l’aide d’une table de caractères et décrire le treillis des sous-groupes distingués, ainsi que l’indice du sous-groupe dérivé, d’un groupe fini à l’aide de cette table.

Rapport du jury 2016

Rapport du jury 2015

Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple). On pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions. Pour les candidats les plus téméraires, on pourra noter que le treillis des sous-groupes distingués d'un groupe fini se voit dans sa table de caractères, ainsi que l'indice du sous-groupe dérivé.\r

Rapport du jury 2014

Les candidats parlent de groupe simple et de sous-groupe dérivé ou de groupe quotient sans savoir utiliser ces notions. Entre autres, il faut savoir pourquoi on s'intéresse particulièrement aux groupes simples. La notion de produit semi-direct n'est plus au programme, mais lorsqu'elle est utilisée, il faut savoir la définir proprement et savoir reconnaître des situations simples où de tels produits apparaissent (le groupe diédral $D_n$ par exemple).\r\rOn pourra noter que les tables de caractères permettent d'illustrer toutes ces notions.\r

Développements

5	Centre d’un p-groupe
5	Sous-groupes de Sylow de sg distingués et de groupes quotients
5	Théorème de Dixon
5	Quaternions et isomorphismes exceptionnels
5	Simplicité de A_n pour n = 3 et n ≥ 5
5	Non-isomorphisme entre PSL(4,F_2) et PSL(3,F_4)
5	Classification des groupes à p^2 éléments
5	A5 est l'unique groupe simple d'ordre 60
5	Le groupe SO3(R) est simple
5	Groupes d'ordre pq
5	S4 est un groupe de pavage
5	Présentation du groupe symétrique
5	Simplicité du groupe alterné (par les commutateurs)
5	Théorème de Frobenius (Sous-groupe distingué d'un groupe fini)
5	Simplicité de SO_3(R)
5	Théorème de Burnside (Groupes simples)
5	Classification des groupes d'ordre 8
5	Des isomorphismes exceptionnels des groupes linéaires projectifs d'un corps fini
5	Classification des groupes d'ordre p^2
5	Groupes dérivés des groupes symétriques
5	Théorème de Cauchy et de Sylow(récurrence)
5	Isomorphisme entre PGL(2,F5) et S5
5	Isomorphisme de groupes finis
5	Groupe d'ordre pq^2
5	Théorème de simplicité d'Iwasawa
5	Probabilité que deux éléments commutent dans groupe
5	Simplicité du groupe alterné An
4	PSLn(K) est simple
4	Sous-groupes distingués et tables de caractères
4	Simplicité de SOn(R)
4	Théorème de Lie-Kolchin
4	Table de caractères de S4 par les isométries positives du cube, étude des sous-groupes distingués
4	Correspondance drapeaux et p-Sylow de GLn(Fp)
4	Théorèmes de Sylow (Version de Wielandt)
4	Des groupes bien mélangés par leurs automorphismes
4	Étude du groupe A4
4	Classification des groupes d'ordre p^2 et 2p
3	Théorème de Mason \"The Line\" Dixon.
3	Théorème de Sylow (version opération de groupes)
3	Lemme d'Ore
3	SO3(R) est un groupe simple, connexe et compact
3	Générateurs de Sn
3	Isomorphisme entre SO3 et SU2/Id
3	Cyclotomie+Dirichlet faible+application aux GAF+Bonus sur Galois inverse
3	Base de Burnside
3	Théorème de Sylow (par récurrence sur le cardinal)
3	Théorème de Frobenius-Zolotarev
2	Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8
2	Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré
1	[An est simple : Doublon]
1	Sous groupes compacts de GL(E)
1	Les idéaux premiers de K[X,Y]

Plans

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Utilisateur : Julos

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La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Les références sont à la fin des plans. Plan semi détaillé. Pas fan du thème de cette leçon. Je pense que je dis le minimum.

Références :

Utilisateur : Kyra Lewis

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Références :

Utilisateur : Coquillages & Poincaré

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Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr

Références :

Utilisateur : TC&WM

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

Références :

Utilisateur : Tintin

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Il y a énormément de choses à dire dans cette leçon et je n'ai pas réussi à faire un choix alors j'ai décidé de tout laisser pour donner un large point de vue sur ce qui était faisable. Les deux dernières parties sont hors programme donc pas nécessaires (sauf le paragraohe où l'on s'intéresse à des sous-groupes distingués) mais si jamais on parle d'une des parties il faut bien être au point dessus au risque d'en subir les conséquences pendant l'oral... La théorie de Sylow n'est pas obligatoire non plus (car pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année et la partie géométrie est appréciée du jury. N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Références :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Cours d'algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Théorie des groupes (bis)

Oraux X-ENS Algèbre 3

Théorie de Galois : Cours et Exercices

Utilisateur : Mathis Lemay

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J'ai fait cette leçon un peu vite... J'ai oublié le 3e théorème d'isomorphisme qu'il faut mettre évidemment. Il ne faut pas oublier de parler du sous-groupe dérivé. La théorie de Sylow n'est pas obligatoire (parce que pas au programme) mais je trouve que c'est un très bon investissement à faire durant l'année. La partie géométrie est appréciée du jury Il faut savoir donner les classes de conjugaison de S_n.

Références :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Théorie des Groupes

Cours d'algèbre

Utilisateur : Théo Ternier

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Voici un plan possible pour la leçon 103. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Références :

Cours d'algèbre

Théorie des Groupes

Algèbre

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Utilisateur : Hugo

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La partie sur les représentations linéaires de groupes finis peut être enlevée, d'autant qu'elle n'est plus au programme de l'agrégation. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Références :

Utilisateur : ma_tilde

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Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation !

Références :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Carnet de voyage en Analystan

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : Julie_D

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C'est la version que j'ai présentée en oral blanc. La référence principale est le Berhuy.

Références :

Algèbre : le grand combat: Cours et exercices

Algèbre linéaire réduction des endomorphismes

131 Développements pour l’oral

Utilisateur : Bertin Thomas

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Références :

Théorie des Groupes

Cours d'algèbre

Algèbre

Utilisateur : Demesmay

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Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Références :

Utilisateur : JULIEN L

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Références :

Théorie des Groupes

Cours d'algèbre

Utilisateur : RMaurice

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Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

Références :

Utilisateur : EWna

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Un plan juste un peu court (qui convient aux plus grosses écritures, disons). Il faut ajouter des exemples (et en compléter d'autres).

Références :

Théorie des Groupes

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre L3

Utilisateur : Pandou

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Le crochet de Lie d'une algèbre de Lie vient de la conjugaison du groupe associé ! Mais il faut être carré sur la géométrie différentielle.

Références :

Éléments de théorie des groupes

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1

Algèbre

Cours d'algèbre

Utilisateur : Jouaucon

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Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons Références en fin de plan avec les notations: [Rom] Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie : Jean Etienne Rombaldi [Ulm] Théorie des Groupes : Félix Ulmer [Per] Cours d'algèbre : Perrin [Les] 131 Développements pour l’oral : D. Lesesvre [Isen] L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements : Isenmann

Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Théorie des Groupes

Cours d'algèbre

131 Développements pour l’oral

L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements

Utilisateur : Aurélie BIGOT

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Références :

Théorie des Groupes

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Utilisateur : F.A.

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Toutes les références sont à la fin du plan. Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...

Références :

Utilisateur : Marvin

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Références :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie

Algèbre et géométrie

Cours d'algèbre

Elements d'analyse et d'algèbre

Algèbre discrète de la transformée de Fourier

Utilisateur : abarrier

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Références :

Utilisateur : Owen

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Cours d'algèbre

Algèbre

Théorie des Groupes

Utilisateur : Alexandre

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Utilisateur : Etienne Donier-Meroz

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Références :

Utilisateur : Florent Bouly

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Utilisateur : Inèss

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Références :

Utilisateur : Florian Dussap

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Références :

Utilisateur : Alexis

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Références :

Cours d'algèbre

Algèbre L3

Utilisateur : Agnielli

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Ebauche numérique de plan.

Références :

Utilisateur : Marie

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Mis à jour le 2.06.17

Références :

Éléments de théorie des groupes

Algèbre L3

Cours d'algèbre

Algèbre

Utilisateur : Victor

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Références :

Utilisateur : Promo ENSL 2016

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Références :

Retours

Utilisateur : Matthieu C. | Année : 2024

Leçon choisie : 1489

Autre leçon : Exemples de décompositions de matrices. Applications. 2024

Développement choisi par le jury : Théorème de Dixon

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le développement s'est bien passé, il n'a duré que 12'30, mais j'ai eu un trou sur le calcul final, je me suis un peu embourbé. Au bout d'une minute ou deux de réflexion, le jury finit par m'expliquer comment finir le calcul, je le fais sans problème (cf ma version du développement pour plus de détails à ce sujet, il y a une erreur dans la référence dans laquelle je prenais le développement). Aucune question sur le développement. Questions sur le plan: - Mq deux matrices réelles conjuguées dans C sont conjuguées dans R. C'était un résultat du plan que je connaissais bien, j'ai su le prouver. - Mq dans un corps algébriquement clos, une matrice et sa transposée sont conjuguées Là encore, un résultat du plan que j'avais révisé pendant la préparation : l'ingrédient secret est la réduction de Jordan (qui existe toujours car on est dans un corps algébriquement clos). Une fois avoir dit ça, le jury ne m'a pas demandé de détailler davantage. - J'avais écrit une proposition dans laquelle j'affirmais que deux matrices semblables ont même déterminant, trace, polynôme caractéristique et minimal. Le jury m'a demandé si certains de ces invariants en impliquaient d'autres. J'ai eu un peu de mal à comprendre ce que le jury voulait sur cette question. On m'a donc demandé si, sachant que le polynôme caractéristique était invariant pour deux matrice semblables, je pouvais en déduire que le déterminant était le même. C'est vrai puisque (au signe près), le déterminant est le coefficient constant dans le polynôme caractéristique. J'ajoute qu'on a aussi que la trace est invariante car c'est (encore au signe près) le coefficient de degré n-1 dans le polynôme caractéristique. Le jury est content. - Est-ce qu'il suffit pour deux matrices d'avoir le même polynôme caractéristique et minimal pour être semblables ? Non, on peut trouver des contre-exemples. - Est-ce qu'en rajoutant des hypothèses sur les matrices qu'on considère, ce résultat peut devenir vrai? Je donne un ou deux idées, peu intéressantes. Le jury rajoute alors : \"des hypothèses, même très fortes\". Je donne alors l'hypothèse de diagonalisabilité, le jury est content et me demande de développer pourquoi ça marche. J'arrive à le faire. Essentiellement, les deux matrices vont être diagonalisables grâce au polynôme minimal, et le même polynôme caractéristique permet d'affirmer qu'elles auront les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités. Elles seront donc conjuguées à la même matrice diagonale, donc conjuguées entre elles. - Trouver deux matrices dans C ayant même polynôme caractéristique et minimal mais qui ne sont pas conjuguées entre elles. J'affirme que pour des raisons de taille de blocs de Jordan, il faut taper au moins en taille 4 pour les matrices pour avoir un exemple. J'essaie de construire des matrices qui font le job, mais grosse galère. Je mets des 1 sur les diagonales de mes matrices, et après j'essaie de faire joujou avec les tailles des blocs de Jordan, mais je n'y arrive pas. Le jury me demande pourquoi je m'escrime à mettre des 1 sur la diagonales; Je réponds en effet que ce n'est pas pertinent, et donc je mets des zéros (pour ces histoires de blocs de Jordan, j'ai une meilleure intuition avec les matrices nilpotentes). Je finis par y arriver, mais on y a passé du temps. Un exercice pour conclure. On fait agir par conjugaison le groupe A4 sur l'espace X des 3-cycles contenus dans A4. Mq les 3-cycles n'engendrent pas A4. Aucune idée pour démarrer : je dis donc que si les 3-cycles engendraient A4, on pourrait montrer que ce groupe est simple (je n'étais pas trop sûr de moi ici), ce qui n'est pas puisque le sous groupe des doubles transpositions est distingué dans A4. Le jury m'invite à résoudre l'exercice en utilisant l'action par conjugaison qu'il m'a introduite, en écrivant la relation orbite stabilisateur. J'essaie ensuite quelques trucs qui n'aboutissent vraiment pas, je parle du fait que le type caractérise entièrement les classes de conjugaison dans Sn (c'était dans mon plan), mais je ne sais pas trop quoi en faire. A la fin, le jury me demande de dénombrer les 3-cycles de A4, je le fais, et l'oral s'est arrêté là.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury plutôt sec au départ, mais souriant à l'issue de la défense de plan et très souriant à l'issue du développement, ce qui m'a mis en confiance. Pendant la séance de questions, le jury était aidant mais me laissait bien le temps de réfléchir c'était très agréable. L'exercice final était plus un dialogue qu'une séance de questions, encore une fois très agréable.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Nous sommes très nombreux à préparer en même temps dans la même salle (une douzaine de personnes dans une petite salle). La température monte vite. Je n'ai pas réussi à retrouver entièrement mon développement sur le théorème de Dixon pendant la préparation, développement qui est tombé au moment de l'oral. Ca ne met vraiment pas en confiance ! Pourtant, cela s'est quand même très bien passé, grâce à la réactivité et la bienveillance du jury. Corollaire : Rester concentré et motivé en toute circonstance !

Note obtenue : 18.25

Références:

Utilisateur : JeSuisAbélien | Année : 2020

Leçon choisie : 1489

Autre leçon : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Simplicité du groupe alterné An

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le jury commence par me poser des questions sur le développements: * Réexpliquer pourquoi dans $\mathcal{A}_5$, si a est un $5$-cycle alors un autre $5$-cycle est conjugué de a ou a² (je l'avais expliqué à l'oral)* * Donner un argument rapide pour dire que a et a² ne sont pas conjugués dans $\mathcal{A}_5$ (On regarde le cardinal de la classe de conjugaison de a qui est l'ensemble des $5$-cycles). On en vient aux questions sur le plan: * Je donne en application du premier théorème d'isomorphisme le théorème chinois, on me demande de préciser l'isomorphisme (donc de refaire la preuve) et d'indiquer comment en trouver la réciproque (en utilisant le théorème de Bézout). On me demande alors si je connais un algorithme rapide de calcul des coefficients de cette écriture, j'ouvre grand les yeux de surprise et indique que je ne connais que l'algorithme d'Euclide étendu mais n'ai aucune idée de sa rapidité, on passe à autre chose. *Dans mon plan je définis deux éléments conjugués comme deux éléments dans une même orbite pour l'action d'un groupe sur lui-même par conjugaison. On me fait remarqué qu'après j'applique cette définition aux matrices et on me demande si il n'y a pas un problème, je répond que oui puisque l'ensemble des matrices n'est pas un groupe multiplicatif (ndlr: il serait surement préférable de ne pas chercher à le définir et de se contenter de donner des exemples ou, même si je ne suis pas sûr que ca fonctionne, parler d'action des inversibles sur un anneau par conjugaison). Premier exercice: On se donne $G$ un p-groupe, on cherche à démontrer que pour tout diviseur $d$ du cardinal de $G$ il existe un sous-groupe de $G$ de cardinal $d$. *J'énonce mon idée: démontrer l'existence d'un sous-groupe non trivial distingué et utiliser une récurrence forte et un passage au quotient pour obtenir le résultat. *On me demande alors, logiquement, comment garantir l'existence d'un tel sous-groupe. Je passe une minute à réfléchir à voix haute, dire toutes les bêtises qui me passent par la tête et à expliquer pourquoi ca ne fonctionne pas (parfois avec l'aide du jury). On me demande alors de donner la définition du centre d'un groupe, je la donne et fini par réagir? Je redémontre alors que le centre d'un p-groupe est non-trivial (on utilise la formule des classes, voir Perrin prop 4.15). *On en revient alors au théorème. Je donne le cardinal de l'image réciproque d'un sous-groupe $H$ de $G/Z(G)$ par la projection canonique (si $H$ est de cardinal $a$ et $Z(G)$ de cardinal $b$ l'image réciproque est de cardinal $ab$) et je dis qu'il faudrait redémontrer que c'est un sous-groupe, on me dit que ce n'est pas nécessaire,. Avec un peu d'aide du jury j'explique comment avec la récurrence forte on peut trouver un sous-groupe qui convient, soit en regardant un sous-groupe image réciproque par la projection canonique, soit en regardant un sous-groupe du centre. Deuxième exercice: Que dire de l'action par conjugaison de $O_n(\mathbf{R})$ sur $S_n(\mathbf{R})$ ? * Je commence par montrer que cette action est bien définie. * Je précise que le théorème spectral nous assure que l'orbite contient une matrice diagonale. On me demande si elle est unique. Je répond que non à cause de l'algorithme de Gauss et de la description des orbites pour l'action par congruence. On me demande si ce que je dis s'applique ici, je répond que non puisque c'est l'action de $Gl_n(\mathbf{R})$. On en reste là pour l'instant Troisième exercice: On considère une matrice réelle $A$ telle qu'elle soit semblable à $2A$, que dire de $A$ ? *Ayant encore mon deuxième développement en tête je cherche à exprimer le polynôme caractéristique de $2A$ (noté $P_{2A}$) à partir de celui de $A$ (noté $P_A$). J'écris $P_{2A}=2^n\,P_A$, on me dit que l'idée est bonne mais que c'est faux. On me fait reprendre la définition, je montre alors que $P_{2A}(X)=2^n\,P_A(X/2)$ (où n est la taille de la matrice). * Avec l'aide du jury je fini par dire que , puisque deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique $P_A(X)=2^n\,P_A(X/2)$, on m'indique que je peux conclure avec ça, je prends le temps de réfléchir et explique si $\lambda$ est une valeur propre non nul de $A$, alors c'est également le cas de $\lambda/2$, $\lambda/4$ etc, on a donc plus de valeurs propres que la dimension de l'espace, c'est absurde, $A$ est donc nilpotente. Retour au deuxième exercice: On considère la matrice $ \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\ ight) $, donner une autre matrice diagonale dans son orbite. Péniblement je fini par regarder ce que donne le conjugué par la matrice $ \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\ ight) $ (c'est $ \left(\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\ ight) $). L'oral se termine là.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury a été dans l'ensemble bienveillant bien que l'un des membres avait l'air parfois peu convaincu par mes réponses (mais ce n'était peut-être qu'une impression). Il n'hésitait pas à aider en donnant des indications ou en indiquant à creuser une piste.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Pas de surpise.

Note obtenue : 15.0

Références:

Utilisateur : Charles Dutertre | Année : 2019

Leçon choisie : 1489

Autre leçon : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Lie-Kolchin

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques questions sur le dév (Lie Kolchin) notamment sur le côté groupe topologique : pour quelle topologie. J'ai dû détailler pourquoi la topologie usuelle sur Mn(C) donne bien que Gln(C) est un groupe topologique. Ils m'ont demandé beaucoup de détails pour juste dire que le produit et l'inverse étaient continus. Apres je m'étais un peu planté dans la précipitation pour montrer que les sous groupes dérivés étaient bien connexes, donc ils m'ont demandé de redétailler ce point (conclusion : il faut vraiment relire son dev en entier avant de passer meme sur les points qu'on pense avoir bien en tete) Ensuite ils m'ont demandé de donner D(SLn(C)) pour n>=3. Ensuite j'ai du montrer que si G est un groupe de cardinal n non abélien, alors G/Z(G) ne peut pas etre cyclique. Ensuite on m'a demandé de montrer que dans ce cas la (ie G non abélien), n/4 <= Card(Z(G)) <= n/2, ce qui (je m'en suis rendu compte a froid) est faux (on a card(Z(G)) <= n/4 puisque G/Z ne peut pas etre d'ordre 2 ou 3 ce qui le rendrait cyclique). Puis que quand g et h sont des variables aléatoires uniformes sur les éléments du groupe : Proba(gh = hg) <= 5/8 mais l'oral s'est arrêté avant que je commence a trouver quelque chose.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury avait en moyenne une bonne attitude, ils me laissaient un peu de temps pour réfléchir et me filaient des tuyaux au bout de ce moment si je trouvais rien.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Oui, finalement on a a peu pres eu nos 3h de préparation, pas de grosse surprise.

Note obtenue : 17.0

Références:

Utilisateur : Charles Dutertre | Année : 2019

Leçon choisie : 1489

Autre leçon : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2025

Développement choisi par le jury : Théorème de Lie-Kolchin

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références:

Utilisateur : Marie | Année : 2017

Leçon choisie : 1489

Autre leçon : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).2025

Développement choisi par le jury : Simplicité du groupe alterné An

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très bienveillant

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Références: