154 - Exemples de décompositions de matrices. Applications. 2024

La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans. Je pense que le jour j j'aurai viré Jordan, je suis pas assez à l'aise avec. Par contre je suis persuadé qu'il faut savoir que ca existe à quoi ca sert etc. Pareil le jour j je n'aurai pas mis Dunford en dev, le jury le voit souvent ca doit un peu leur peter les couilles.

Cette leçon est l'occasion de faire le point sur la réduction de matrices (diagonalisation, trigonalisation, décomposition de Dunford, décomposition de Jordan, décomposition de Frobenius, etc.) ainsi que des générateurs du groupe linéaire. Il n'est pas essentielle de présenter toutes les décompositions de matrices que l'on connaît, mais il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir la faire en pratique : certaines démonstrations sont \"algorithmiques\" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille. Attention à la décomposition de Dunford car c'est un développement très (vraiment trop !!) vu donc il vaut mieux trouver autre chose pour se démarquer un peu (d'autant plus que le jury vous attends au tournant à la moindre erreur et sera plus vite lassé étant donné qu'il l'a déjà vu 10 fois avant). De plus, le lemme des noyaux peut se démontrer de plusieurs manières en fonction du résultat (juste la décomposition en somme directe ou en plus des résultats sur les projecteurs) et cela peut donc également poser problème... N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).

Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0 Bonne preparation à vous !

J'ai trouvé cette leçon très cool, ça a été l'occasion pour moi de découvrir plein de choses que je ne connaissais pas (qui étaient passées à la trappe dans les enseignements que j'avais reçus jusqu'à la prépa agreg) : décompositions LU, Cholesky, QR, Jordan et Frobenius (que j'avais vus avant mais j'ai pu les approfondir ici), décomposition polaire... Concernant Jordan et Frobenius, comme j'avais bien bossé les endomorphismes cycliques, je connaissais bien Frobenius et j'en déduisais Jordan. Problème : je connaissais assez peu la méthode par les noyaux itérés et je recommanderais plutôt d'apprendre Jordan en passant par là ; C'est utile pour résoudre certains exos théoriques. Il est important de noter que si on parle d'une décomposition dans le plan, il faut savoir faire en pratique : certaines démos sont \"algorithmiques\" et permettent de savoir faire sur une matrice de petite taille. On peut bien sûr aussi parler du pivot de Gauss dans cette leçon.

Voici un plan possible pour la leçon 154. Mes plans sont très souvent inspirés de Ewna et Abarrier (merci à eux deux !)

Leçon assez sympa à préparer, mais plus compliquée qu'il n'y paraît. Bien s'entraîner à faire quelques exercices de décomposition avant de la choisir. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait. Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela. Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai. Bon courage pour votre préparation !

…ça commence à en faire des plans pour cette nouvelle leçon ! Mon plan a été éprouvé par une présentation durant l'année. Je vous propose également une fiche synthétique autour de cette leçon. Seules les quatre premières références sont nécessaires. Les autres sont plus pour la culture générale ou pour un item que vous aurez de toute façon oublié le jour J. En fin d'année, j'aurais plutôt remplacé la partie sur la décomposition QR et de Hermite par une partie sur la décomposition de Cholesky.

C'est du fait maison donc ca vaut ce que ca vaut. Le plan a tout de même été approuvé par mes profs

Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.

Plan non détaillé fait à la fin de l'année.

Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet. Si cela peut aider des gens, avec plaisir ! Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! )( pas pour celle la ). Les références sont à la fin. Attention aux éventuels coquilles.

Toutes les références, ainsi que les pages, sont mises dans le plan. Il ne faut pas trop s'étaler sur la partie \"diagonalisation / trigonalisation\", pour laquelle d'autres leçons sont dédiées.

La leçon d'algèbre que j'aime le moins. Ce plan est bien trop court: je ne veux pas parler de LU, QR et compagnie, mais je ne vois pas par quoi les remplacer...

Développements choisis : Décomposition polaire et Décompositions LU + Cholesky. Il faut peut-être ajouter les algorithmes en annexe.

Les références sont à la fin du plan. On peut prendre le Rombaldi à la place de Carnet de voyage. C'est juste que je préfère la preuve de la décomposition LU dans Carnet de voyage :) On peut aussi développer un peu plus la sous-partie sur la factorisation QR et peut-être mettre une partie sur l'aspect algorithmique de la décomposition de Dunford. Développements choisis : 1) Décomposition de Dunford + Application à l'exponentielle de matrice 2) Décomposition LU + Cholesky Plan : I. Réduction de matrices 1) Eléments propres 2) Diagonalisation 3) Trigonalisation 4) Décomposition de Jordan II. Approche linéaire 1) Prérequis 2) Décomposition de Dunford 3) Théorème spectral et décomposition polaire III. Point de vue algorithmique 1) Méthode du pivot de Gauss 2) Factorisation LU et décomposition de Cholesky 3) Factorisation QR

Références en fin de plan avec les notations, essentiellement le Rombaldi à part pour mes développements (Dunford et décompo. polaire). La partie algorithmique mériterait d'être plus poussée (QR, Iwasawa entre autres) mais mon quotient intellectuel ne me le permettrait pas le jour J. On peut remplacer le Isenmann par le Gourdon.