Méthode de Laplace (ordre pas forcément deux)

Soient \(g\) et \(h\) des fonctions mesurables de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}\). On suppose que: \(h\) est strictement décroissante, on a en $0$: \(h(x)=h(0)-cx^{\beta}+o(x^{\beta})\) avec \(c>0\) et \(\beta>0\), on a en 0: \(g(x)\sim Ax^{\alpha}\) avec \(\alpha>-1\) et \(A\ e 0\), \(\int_{\mathbb{R}_+} |g(x)|e^{h(x)}\ dx<+\infty\). Alors, lorsque $t$ tend vers l'infini, on a l'équivalent: \(I(t)=\int_{0}^{+\infty} g(x)e^{th(x)}\ d\lambda(x) \sim Ae^{h(0)t}(ct)^{-\frac{\alpha+1}{\beta}} K_{\alpha,\beta},\) avec \(K_{\alpha,\beta}=\frac1{\beta}\Gamma(\frac{\alpha+1}{\beta})\).