Formule de Stirling par la méthode de Laplace

-> On commence par montrer le lemme de Watson pour la transformée de Laplace : Soit $f$ une fonction intégrable au voisinage de 0 et à croissance au plus exponentielle en l'infini, on suppose de plus que $f$ admet un développement asymptotique en 0 de la forme : $f(x) = a_0 x^{\alpha_0} + \ldots a_n x^{\alpha_n} + O_0(x^{\alpha_{n + 1}})$ avec $-1 < \alpha_0 < \ldots < \alpha_{n + 1}$ Alors $\mathcal{L}(f) = \sum_{k = 0}^{n} a_k \frac{\Gamma(\alpha_k + 1)}{x^{\alpha_k + 1}} + O_{+\infty}(\frac{1}{x^{\alpha_{n + 1} + 1}})$ -> On utilise ensuite ce lemme pour appliquer la méthode de Laplace à la fonction Gamma et retrouver ainsi l'équivalent de Stirling $\Gamma(x + 1) \sim_{+\infty} e^{-x}x^x\sqrt{2\pi x}$