Existence de base q-orthogonale et loi d'inertie de Sylvester

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, notée $n$. Soit $q$ une forme quadratique sur $E$. Théorème 1 : Il existe une base $q$-orthogonale de $E$. Théorème 2 : Supposons $\mathbb{K}=\mathbb{R}$. Alors, il existe une base $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ de $E$ et $p \in [\![0,n]\!]$ tels que, \begin{equation*} \forall x = \sum_{k=1}^{n} x_k e_k \in E, \quad q(x) = \sum_{k=1}^{p} x_k^2 - \sum_{k=p+1}^{r} x_k^2 \end{equation*} c'est-à-dire que : \begin{equation*} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(q) = \left( \begin{array}{c|c|c} I_p & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \hline \mathbf{0} & -I_{r-p} & \mathbf{0} \\ \hline \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{array} \right). \end{equation*} De plus, cet entier $p$ ne dépend que de la forme quadratique (il ne dépend pas de la base $\mathcal{B}$). Le couple $(p,r-p)$ est appelé la signature de $q$.