204 - Connexité. Exemples d’applications.2025

Rapport du jury 2022

Dans cette leçon, il convient de mettre en évidence le fait que la connexité formalise l'idée d'espace \"d'un seul tenant\", que la connexité par arcs permet d'illustrer géométriquement. Du point de vue opérationnel, les deux idées maîtresses sont la préservation de la connexité par image continue, et l'utilisation de la connexité pour passer du local au global.\r\r\r\rLa seconde sera abondamment illustrée dans le domaine du calcul différentiel, des équations différentielles non linéaires (passage d'une unicité locale à une unicité globale), des fonctions holomorphes (principe du prolongement analytique ou du maximum).\rEn cas de non-connexité, la notion pertinente est celle de composante connexe, dont une première application est la structure des ouverts de R, et leur mesure. Les exemples issus de l'algèbre linéaire sont bien entendu les bienvenus, à condition de ne pas trop détourner la leçon...\r\r\r\rPour les candidats solides, de bons prolongements sont le théorème de Runge, l'ensemble triadique de Cantor comme prototype d'espace métrique compact, parfait et totalement discontinu, la notion de simple connexité.

Rapport du jury 2019

L’objectif de cette leçon est de dégager clairement l’intérêt de la notion de connexité en analyse. Deux aspects sont notamment à mettre en valeur dans cette leçon : le fait que la connexité est préservée par image continue avec les théorèmes du type « valeurs intermédiaires » qui en résultent et le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global, par exemple en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, la structure des ouverts de $\textbf{R}$, l’identification des connexes de $\textbf{R}$ sont des résultats incontournables. $\\$ La caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions différentiables sur un ouvert connexe trouve tout à fait sa place dans cette leçon, incluant éventuellement la version « distributions » de ce résultat. $\\$ La connexité par arcs permet, lorsqu’elle se produit, de conclure immédiatement à la connexité. Toutefois, il est important de bien distinguer connexité et connexité par arcs en général (avec des exemples compris par le candidat), et il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. La notion de composante connexe doit également trouver sa place dans cette leçon(pouvant être illustrée par des exemples matriciels). L’illustration géométrique de la connexité est un point apprécié par le jury. $\\$ Des exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) sont valorisés. Pour aller plus loin, le principe des zéros isolés, son lien avec le prolongement analytique, ainsi que des illustrations avec des fonctions spéciales telles que $\zeta$,$\theta$,$\Gamma$ ou encore le principe du maximum, fournissent des thèmes très riches pour cette leçon. $\\$ Dans une autre direction, on peut s’intéresser aux solutions d’une équation différentielle non linéaire avec le passage d’un théorème d’existence et d’unicité local à un théorème d’existence et d’unicité de solutions maximales. Enfin, le choix des développements doit être pertinent, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge pour les candidats qui le souhaitent. $\\$ Pour aller plus loin, on peut éventuellement évoquer certaines parties totalement discontinues remarquables telles que l’ensemble triadique de Cantor et ses applications.

Rapport du jury 2017

Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon : en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, l’identification des connexes de R sont des résultats incontournables. On distinguera bien connexité et connexité par arcs (avec des exemples compris par le candidat), mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. A contrario, on pourra distinguer leur comportement par passage à l’adhérence. La notion de composantes connexes doit également trouver sa place dans cette leçon (pouvant être illustrée par des exemples matriciels). L’illustration géométrique de la connexité sera un point apprécié par le jury.\r\rDes exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) seront valorisés. Le choix des développements doit être pertinent, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge.

Rapport du jury 2016

Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon : en calcul différentiel, voire pour les fonctions holomorphes. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité. La stabilité par image continue, l’identification des connexes de R sont des résultats incontournables. On distinguera bien connexité et connexité par arcs (avec des exemples compris par le candidat), mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. A contrario, on pourra distinguer leur comportement par passage à l’adhérence.\r\rDes exemples issus d’autres champs (algèbre linéaire notamment) seront appréciés. Le choix des développements doit être pertinent, le préambule en fournit quelques exemples, même s’il fait aussi appel à des thèmes différents ; on peut ainsi suggérer le théorème de Runge.

Rapport du jury 2015

Le rôle clef de la connexité dans le passage du local au global doit être mis en évidence dans cette leçon. Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité ; par exemple, diverses démonstrations du théorème de d'Alembert-Gauss. On distinguera bien connexité et connexité par arcs, mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident.

Rapport du jury 2014

Il est important de présenter des résultats naturels dont la démonstration utilise la connexité ; par exemple, diverses démonstrations du théorème de d'Alembert-Gauss. On distinguera bien connexité et connexité par arcs, mais il est pertinent de présenter des situations où ces deux notions coïncident. \r