Algorithme de Berlekamp

'

Vous pourrez trouver tous mes développements, des plans et plus sur mon site : https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/anael.marit/agregation.html ! Un développement super sympa, qui déroule beaucoup d'arguments abstraits pour répondre à un problème concret, le tout avec de très bons recasages. Attention à savoir traiter le cas où le polynôme en entrée a des facteurs multiples, je pense que le jury risque très fortement de poser la question. Je ne l'ai pas inclu dans mon poly mais c'est très bien fait dans le libre de Beck, Malick et Peyré. N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille !'

- Théorème de décomposition des polynômes sur un corps fini ; - Application à l'irréductibilité d'un polynôme de $\mathbb{F}_p[X]$ ; - Complément pour appliquer l'algorithme sur un polynôme quelconque. Leçons concernées : 123, 141, 142'

122,123,141,142,148 selon moi. Un de mes développements préférés pour le fait qu'on navigue entre théorie des anneaux, théorie des corps, et algèbre linéaire. Questions qu'on m'a posé sur ce développement : - En terme de réduction, en quoi consiste l'algorithme ? (On étudie la multiplicité géométrique de la valeur propre 1 de Frob^n) - Appliquer l'algorithme à X^4+1 sur F_p, p premier plus grand que 3 (X^4 congrue à -1 (mod p), étudier les cas p congru à 1 mod 4, et p congru à 3 mod 4)'

'

J'aime bien ce développement. Le mot \"algorithme\" peut faire peur mais ce n'est qu'une illusion, ce dév n'a rien d'un algorithme. Je le mets dans les leçons 123, 125, 141 et 148. On trouvera la preuve aux alentours de la page 244 de la référence. '

'

Inspiré du Saux Picard et du Demazure, mais réarrangé à ma sauce maison.'

J'ai l'impression que dire que $P$ s'écrit comme le produit des $\mathrm{pgcd}(P,V-\alpha)$ est un peu superflu, exhiber un facteur non-trivial suffit pour enclencher la récurrence et donc ça peut vous faire gagner du temps. Sinon très bonne version dans Objectif Agrégation, comparé à la version du Demazure qui est imbitable (pour moi)'

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.'

'

'

Attention à la subtilité des sous-corps premiers des F_q^d qui sont isomorphes au corps de départ F_q mais pas égaux'

Développement consistant d'un lemme au choix + du théorème de Berlekamp faisant intervenir plusieurs notions sur les corps. Selon moi, se recase dans les leçons: 120, 121, 122, 123, 125, 141, 142 et 151. Développement n°18 sur 28. Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE'

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine/'

D'après moi pour les leçons 122, 123, 125, 141 et 151. Il vaut mieux connaître la complexité approximative de l'algorithme. NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'

Un développement qui a priori fait peur, mais qui n'utilise pas vraiment de choses très difficiles ! C'est juste l'astuce du futur dans toute sa splendeur ... Comment il a trouvé ça, Berlekamp ?!'

'

Si on vous demande de l'appliquer, dites que c'est prévu pour être implémenter sur un ordinateur ;) (bon et puis appliquez le mais bonne chance à vous :p)'

'

'

'