Utilisateur : Lavos

Il ne faut pas traîner pour le faire rentrer en 15 minutes sans occulter un argument. Ayez quelques exemples d'applications en tête pour le plan/les questions, c'est un résultat très utile (et pour l'anecdote, un des préférés de D. Perrin)

Très joli résultat avec une belle application. Pour celle-ci, a priori on n'a le temps que de traiter le cas des nombres premiers mais sachez justifier la généralisation.

Pour la leçon 151, faire la version qui utilise l'invariance du rang par extension de corps (qui est par ailleurs selon moi plus simple à justifier). Pour la 162, la version systémique du FGN est très bien, à condition de savoir expliquer pourquoi la dimension de l'espace des solutions ne change pas par extension de corps. Parmi les questions possibles: Peut-on toujours prendre une extension sur laquelle A est trigonalisable ? Oui, sachez comment construire un corps de décomposition par récurrence. Je ne pense pas qu'il soit utilise de s'aventurer vers les clôtures algébriques et le théorème de Steinitz. Les histoires de cyclicité, la condition sur l'égalité des polynômes minimal et caractéristique, du coup savoir un peu parler du polynôme minimal ponctuel, ...

Résultat assez surprenant lorsqu'on sait que le cône nilpotent n'a rien d'un sous-espace vectoriel. Je recommande la vidéo de Caldero sur le sujet pour l'heuristique et quelques remarques.

Ne pas faire tous les calculs des produits par blocs pour gagner un peu de temps, le reste se fait bien.

Il n'y a besoin que d'une référence parmi celles que j'ai listées.

Développement très long, clairement ne faire qu'un seul des deux résultants. N'utilise vraiment que la définition du résultant donc ne devrait pas faire fuir les candidats qui ne suivent pas l'option C. La proposition que je fais en bonus tout à la fin peut être bonne à connaître. En revanche, il n'y a pas de référence à ma connaissance.

La version affaiblie de Hahn-Banach géométrique suffit largement pour ce développement à mon avis. Il y a bien assez de connaissances à avoir en tête pour le maîtriser avec Carathéodory, le dual de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et la décomposition polaire.

Bien savoir faire les quotients d'anneaux à la fin.

Bien connaître les liens avec les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.

Vaut vraiment le coup d'être travaillé.

Se fait bien en 15 minutes mais il faut savoir aller vite sur certains points (par exemple ne pas détailler comment vous dénombrez les éléments de $\mathfrak{A}_5$). Assez bénéfique pour travailler les permutations je trouve.

Pas spécialement difficile et assez élégant.

La version des Raisonnements divins (Aigner, Ziegler) est très détaillée, on peut aisément se contenter de la preuve du Perrin.

Il faut aller assez vite pour tout faire en 15 minutes mais ça rentre avec de l'entraînement.

L'équivalent $\Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi} ~x^{x-1/2} ~e^{-x}$ que j'utilise en cours de route s'obtient via la méthode de Laplace mais ma seule référence est un très bon cours... On peut se contenter de la méthode habituelle, que je trouve un peu moins élégante. Le résultat permet de montrer la formule de Legendre sans aucun calcul, ça vaut le coup de le mettre au moins dans le plan.

A priori pas le temps pour l'unicité mais comme on vous posera certainement la question, je la met quand même. Par contre j'ai une nette préférence pour la méthode d'énergie du Bernis x Bernis.

Rouvière pour l'énoncé et l'interprétation géométrique. Avez pour l'heuristique de la preuve. BMP pour l'application.

Cette version permet de se ramener à un contour beaucoup plus agréable pour appliquer le théorème des résidus.

Bien utiliser la convention du Rudin pour la transformée de Fourier. On ne peut démontrer que les i), ii) (et très éventuellement iii) en étant rapide) en 15 minutes mais c'est amplement suffisant.

Pas de réf mais c'est trivial.

Rudin, Analyse fonctionnelle pour le 3) Théorème > Lemme

On peut se contenter du cas idéal d'un ouvert suffisamment régulier pour appliquer la formule de Green-Riemann.

Ne pas perdre de temps.

On peut prendre 1-2 minutes au début pour expliquer l'origine de cette méthode (voir l'heuristique du Rouvière à ce sujet).

Je renvoie au pdf d'Adrien Laurent

Il peut être bon de se pencher sur le théorème de Cartan-Dieudonné pour aborder ce développement.

Pas sûr du Pecatte pour le résultat principal, je n'ai jamais eu ce bouquin.

Être précis sur les quantificateurs sans quoi on peut vraiment venir vous embêter sur des détails.