144 - Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.2025

Leçon choisie : 1502

Autre leçon : Déterminant. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Formes de Hankel

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai présenté dans une première partie les définitions de multiplicité algébrique et analytique, en mentionnant leur équivalence, puis la définition des fonctions symétriques élémentaires et relation coefficient-racine, et enfin mon premier développement, les formes de Hankel. J'ai ensuite parlé d'extension algébrique de corps avec le Perrin, puis de nombres constructibles avec mon deuxième développement. Le jury a choisi les formes de Hankel, et ne m'a jamais parlé de nombres constructibles.. Les questions qui m'ont été posées : - Pourquoi la multiplicité analytique et égale à la multiplicité algébrique? (je me suis peut-être un peu embourbée dans ma démonstration, alors qu'il y avait plus simple), ils m'ont fait remarquer qu'il fallait un corps de caractéristique nulle pour que ma démo marche. - Quelle est la forme de Hankel du polynôme $X^3-aX^2 + bX -c$, en supposant connues les sommes de Newton? J'ai juste écrit la définition de la forme quadratique de l'énoncé sans aller plus loin, à mon avis, il voulait savoir si j'allais oublier les facteurs 2 ou non. - $X^n - X+1$ est-il scindé à racines simples? calculer $\sum_{\omega~racine} \frac 1\omega$ - Pouquoi un corps fini n'est jamais algébriquement clos? - Soit $P \in \mathbb Z[X]$ tel que $P(0) \eq 0$ et $(*) : P(\omega) = 0 \implies |\omega| \leq 1$ 1) trouver $A \in \mathcal M_n(\mathbb Z) | \chi_A = P$ 2) MQ il n'existe qu'un nombre fini de $P \in \mathbb Z[X]$ vérifiant $(*)$ 3) conclure que les $\omega$ sont des racines de l'unité (pas fini, mais on n'était plus très loin) - Soit $x = (x_1,...,x_n) , y= (y_1,...,y_n) \in \mathbb C^n$ tels que, pour tout polynôme symétrique $P, P(x) = P(y)$. Montrer que $x$ et $y$ sont dans la même orbite pour l'action naturelle du groupe symétrique sur les n-uplets.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Ils m'ont pas mal apporté d'aide au cours de l'entretien, sans pour autant que je sois passive. J'ai su réagir à chaque indice. J'ai d'ailleurs trivialisé la dernière question en un rien de temps, alors que la personne qui m'a posé la question avait peur qu'on n'ait pas le temps de finir, ce qui a eu l'air de beaucoup impressionner un autre membre du jury.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Je me suis sentie très à l'aise durant cet oral, ce qui m'a beaucoup surprise, parce que tout au long de l'année, j'ai toujours eu un peu de mal à être à confiante à l'oral.

Note obtenue : 15.25

Leçon choisie : 1502

Autre leçon : Déterminant. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Formes de Hankel

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
doublon accidentel, ignorez ce retour

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Leçon choisie : 1502

Autre leçon : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022

Développement choisi par le jury : Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Développement: On m'a demandé de justifier l'initialisation d'une récurrence et pourquoi fermé + borné => compact en dim finie Plan : Je n'avais pas top insisté dans mon plan sur la partie \"fonctions symétriques élémentaires\" donc ils ont fait un gros focus dessus durant l'entretien. Questions : - pourquoi parle-t-on de fonctions \"symétriques\"? - résolution d'un système avec 3 inconnus où il fallait utiliser les fonctions symétriques élémentaires (sans me le dire évidemment ;) ) - trouver les racines d'un polynôme de degré 3 sans racine évidente - f endomorphisme de E, un R-ev, tel que f²=Id. Montrer que E est de dim paire

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Très souriants dès le début, très encourageant et bienveillants tout du long.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Préparation : le président du jury est présent et très rassurant lors de notre premier tirage, la salle des tirages est séparée de la salle de préparation, personne ne vérifie si nos livres sont annotés, on se ballade comme on veut dans les couloirs à la recherche des livres qu'on veut (et il y en a beaucoup !!) Jury : on nous prend nos leçons et tous nos brouillons à la fin de l'épreuve pour les jeter

Note obtenue : Pas de réponse fournie.