Utilisateur : JBernis

Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré de mesure finie. Soit un réel $p\ge1$ et $V$ un sous-espace vectoriel fermé de $\mathbb{L}^p(\mu)$ qui est inclus dans $\mathbb{L}^{\infty}(\mu)$. Alors $V$ est de dimension finie. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Peut être présentée avec une application. Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes, centrées. On suppose qu'il existe une suite de réels strictement positifs $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on ait : $$|X_n|\leq c_n, \text{ presque sûrement.}$$ On note $S_n=\sum_{k=1}^{n}{X_k}$. Alors, pour tout $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a : \begin{equation} \mathbb{P}(|S_n|>\varepsilon) \leq 2\exp\left(\frac{-\varepsilon^2}{2\sum_{k=1}^{n}{c_k^2}}\ ight) \end{equation} Référence (théorème et deux applications) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Une application qui peut être proposée concerne la stabilité des systèmes newtoniens. Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine. Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait : \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\ ight). \end{equation} Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

L'application concerne la stabilité des systèmes newtoniens. Énoncé : Soient un entier $n\ge 1$, $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ contenant l'origine $\mathbf{0}$, et $f$ un élément de $\mathcal{C}^3(\mathcal{U}, \mathbb{R})$. On suppose que la différentielle de $f$ est nulle en l'origine et que sa différentielle d'ordre $2$ est non dégénérée en l'origine. Alors il existe un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme $\Phi$ d'un voisinage $\mathcal{V}$ de $ \mathbf{0} $ sur un voisnage $\mathcal W$ de $ \mathbf{0} $ inclus dans $\mathcal U$, qui conserve l'origine et tel que pour tout $ Z \in \mathcal{V}$, on ait : \begin{equation} f(\Phi( Z) ) - f( \mathbf{0} ) = \frac{1}{2} \mathrm{D}^2_{ \mathbf{0} }f\cdot \left( Z,Z\ ight). \end{equation} Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Énoncé : Pour tout entier naturel $n$ non nul, $B_n$ désigne le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à $n$ éléments. Et l'on conviendra que $B_0=1$. Alors : -- Pour tout $n\in\mathbb{N}$, \begin{equation}B_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\k\\ \end{pmatrix}B_{n-k}. \end{equation} -- La série entière de la variable réelle $t$, $$\sum\limits_{n\ge 0}\frac{B_n}{n!}t^n$$ a un rayon de convergence $R$ non nul et sa somme $S$ vérifie : $$ \forall t\in \,]-R,R\,[, \;S'(t)= \exp(t)S(t). $$ -- Pour tout entier naturel $n$, $$ B_n=\frac 1 e\sum\limits_{p=0}^{+\infty} \frac {p^n }{ p! }\hbox{ (formule de Doblinski)}. $$ Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}*}$ une suite de variables aléatoires discrètes, indépendantes et identiquement distribuées, dont la loi est définie par : $$ \mathbb{P}(X_1=1)=p, \mathbb{P}(X_1=-1)=1-p=q.$$ La variable aléatoire $X_n$ représente, le gain du joueur à l'issue du $n^{\mathrm{e}}$ lancer, dans la mesure où la partie se déroule en au moins $n$ lancers. Pour un entier $k\in [\![0,a+A]\!]$, on définit la suite de variables aléatoires $(S_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ : $$ S_0=k, \;\;\; \forall n\in\mathbb{N}^*, S_n=k + \sum_{j=1}^{n}{X_j}.$$ Si $S_0=a$ alors, avec la même réserve sur $n$, $S_n$ représentele capital du joueur après $n$ lancers de pièce. Enfin, on définit la variable aléatoire $T$, représentant la durée de la partie, par la relation : $$T= \mathop{\mathrm{inf}} \left\{n\in\mathbb{N} \;|\; S_n \in \{ 0, a+A \} \ ight\},$$ en convenant que $\mathop{\mathrm{inf}}(\emptyset )=+\infty$. Énoncé : En prenant $S_0=a$, -- Le nombre de tours moyen pour que la partie s'achève est donné par les formules : si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= \frac{(a+A)\frac{1-\left(\frac{q}{p}\ ight)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\ ight)^{a+A}}-a}{p-q},$$ si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$ \mathbb{E}[T]= a\,A.$$ -- Presque sûrement, le jeu se finit en un nombre fini de lancers : $$\mathbb{P}(T < + \infty)=1.$$ -- La probabilité que le joueur gagne est donnée par les formules : si $p > \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A)=\frac{1-\left(\frac{q}{p}\ ight)^{a}}{1-\left(\frac{q}{p}\ ight)^{a+A}},$$ si $p = \frac{1}{2}$ alors, $$\mathbb{P}(S_T=a+A) = \frac{a}{a+A}.$$ Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que : -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$, -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$. Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème : \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation} Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Possibilité d'ajouter une des deux applications suivantes : Application 1 : Soit $p\in\, ]0,1[$. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $Y_n$ suive la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors on a : $$ \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).$$ Application 2 : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On étudie le modèle statistique $\left( \{0,1\}^n, \{\mathcal{B}(1,p)\}_{p\in\, ]0,1[}\ ight)$. Soit $X_n,\ldots,X_n$, un $n$-échantillon de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$, $p\in\,]0,1[$. Pour $\alpha\in\, ]0,1[$, déterminons un intervalle au niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$ du paramètre d'intérêt $p$. Référence (également valable pour le TCL) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Peut être complété par le théorème de Tauber faible. Référence (pour Abel angulaire et Tauber faible) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

201 203 205 228 Énoncé : Soient $(K,\mathrm{d})$ un espace métrique compact et $\mathcal{A}$ une partie de l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C}(K,\mathbb{C}), \|\cdot\|_{\infty} \ ight)$ des fonctions continues sur $K$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : -- La partie $\mathcal{A}$ est équicontinue et bornée. -- La partie $\mathcal{A}$ est relativement compacte. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $f : \mathbb{R}^n\ ightarrow\mathbb{R}^n\in\mathcal{C}^2(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$. Les deux propositions suivantes sont équivalentes : -- L'application $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\mathbb{R}^n$ sur $\mathbb{R}^n$. -- Pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{D}_x f$ est inversible, et $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty}{\|f(x)\|}=+\infty$. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Pour l'application. Énoncé : -- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$, $$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.) -- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$, l'ensemble $$ \left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty \ ight\} $$ soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Énoncé : Soit $f$ une application d'un intervalle ouvert $I$ à valeurs réelles, indéfiniment dérivable. On suppose que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(2n)}$ est positive. Alors $f$ est analytique sur $I$. Avec une application dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Énoncé : Soit $f$ une application d'un intervalle ouvert $I$ à valeurs réelles, indéfiniment dérivable. On suppose que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(2n)}$ est positive. Alors $f$ est analytique sur $I$. Avec une application dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Pour une application détaillée, consulter également la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que : -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$, -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$. Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème : \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation}

Développement très difficile. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Présentée sous une forme simple en application de la formule sommatoire de Poisson dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Application de la méthode du pas optimal pour la résolution d'un système linéaire (utilisant l'inégalité de Kantorovitch) dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Leçons : 223, 224, 262, 263. Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a : $$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\ ight)$$ Énoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$ Alors on a : -- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$ -- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Énoncé : -- Soient un réel $b>0$ et $f$ une application de $[0,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que : 1. $f$ est continue; 2. $f$ est à valeurs dans $[a,b]$; 3. $f$ est croissante; 4. pour tout élément $x$ de $]0,b]$, $f(x)$ strictement plus petit que $x$ et $f(0)=0$; 5. Il existe un réel $\lambda>0$ et un réel $r>1$ tels que : $$ f(x) =x-\lambda x^r+\mathop{o}\limits_{x\to 0}\left(x^r\ ight).$$ Pour tout $c\in\, ]0,b[$ la relation \begin{equation} u_0=c,\; \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n) \end{equation} définit une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ à valeurs dans $]0,b[$, de limite $0$, de plus : $$ u_n \mathop{\sim}\limits_{n\to +\infty} \frac {K}{n^{\frac{1}{r-1}} },\hbox{ où } K=(\lambda(r-1))^{\frac{1}{1-r}}. $$ -- Dans le cas particulier $f\;:\; x\longmapsto \ln(1+x),$ on a le développement asymptotique à deux termes : $$ u_n=\frac 2 n +\frac{2\ln(n)}{3n^2}+ \mathop{ o}\limits_{n\to +\infty} \left( \frac{\ln n} {n^2} \ ight) .$$ -- Soit $d \in \mathbb{R}_+$ la relation \begin{equation} v_0=d,\; \forall n\in\mathbb{N}, v_{n+1}=v_n+\exp\left(-v_n^2\ ight) \end{equation} définit une suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui diverge vers $+\infty$. De plus : $$v_n \mathop{\sim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt{\ln n}.$$ Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

On trouvera (en plus de l'énoncé classique) un énoncé et une preuve alternative (répondant à une question fréquemment posée par le jury) dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses. C'est une généralisation du résultat dans lequel on n'impose pas que le centre de l'ellipsoïde soit l'origine. Énoncé (Ellipsoïde affine de John-Loewner) : Soit $K$ un ensemble compact de $\mathbb{R}^N$ d'intérieur non vide. Alors il existe un et un seul ellipsoïde plein de volume minimal (NON NÉCESSAIREMENT CENTRÉ EN L'ORIGINE), qui contienne $K$.

Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Pour cet énoncé (et d'autres développements asymptotiques de suites), consulter aussi la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Énoncé : -- Pour tout élément $x_0$ de $\mathbb{R}$, il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $D$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $D$, $$ \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x_0)|=+\infty,$$ (en particulier la série de Fourier de $f$ diverge en $x_0$.) -- Il existe un ${\mathcal G}_\delta$ dense $\Delta$ de $({\mathcal C }_{2\pi},\|\cdot\|_\infty)$, tel que pour tout élément $f$ de $\Delta$, l'ensemble $$ \left\{x\in \mathbb{R}\;\big|\; \mathop{\sup}\limits_{n\in\mathbb{N}}|S_n(f)(x)|=+\infty \ ight\} $$ soit un ${\mathcal G}_\delta$ dense de $(\mathbb{R},|\cdot|)$. Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Voir aussi la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

On peut aboutir à ce résultat par au moins quatre méthodes. Trois d'entre elles (résidus, transformée de Laplace, transformée de Fourier-Plancherel) sont présentées dans la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

On peut l'accompagner de la règle d'échantillonnage de Shannon dans un cas simple. Voir la référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Autre référence détaillée pour cet exposé : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

Énoncé : Soit $f\in\mathcal{C}^1\left([0,\pi],\mathbb{R}\ ight)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Notons $K_f$ l'ensemble des éléments $$u\;:\:\begin{cases} [0,\pi] \times \mathbb{R}_{+} \longrightarrow \mathbb{R}, \\ (x,t)\longmapsto u(x,t). \end{cases}$$ de $\mathcal{C}\left([0,\pi] \times \mathbb{R}_+\ ight)$ qui vérifient : 1.i. $\partial_x u$ et $\partial_t u$ existent et sont continues sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$, ii. $\partial^2_{x^2} u$ existe et est continue sur $[0,\pi] \times \mathbb{R}_+^*$, iii. pour tout réel $t\ge 0$, $u(0,t)=u(\pi,t)=0$, iv. pour tout $ (x,t)\in [0,\pi] \times\mathbb{R}_+^*$, $\partial_t u(x,t)=\partial^2_{x^2} u(x,t)$\,; 2. Pour tout $ x\in[0,\pi]$, $u(x,0)=f(x)$. Alors $K_f$ est un singleton. Nous donnerons de plus l'expression de l'unique élément de $K_f$ sous forme de la somme d'une série d'applications.