214 - Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.2025
Rapport du jury 2022
Les deux théorèmes fondamentaux auxquels cette leçon est consacrée offrent bien sûr une belle utilisation de la complétude, qu'on ne passera pas sous silence. Pour autant, pour traiter l'intégralité du sujet, il faut se garder d'un point de vue trop formel, et proposer des applications significatives aussi bien en analyse qu'en géométrie : étude locale de courbes, de surfaces ou d'intersection de surfaces, problèmes d'optimisation sous contraintes (si possible autres que la preuve de l'inégalité arithmético-géométrique), régularité des racines d'un polynôme en fonction des coefficients, etc.\rUne bonne compréhension de la méthode des multiplicateurs de Lagrange requiert celle de la notion d'espace tangent, qui en donne une justification beaucoup plus claire que certains raisonnements purement matriciels.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à l'étude locale d'applications suffisamment régulières (submersions, immersions, théorème du rang constant, lemme de Morse), au lemme de Sard, ainsi qu'aux sous-variétés de $R^n$.
Afficher les anciens rapports
Développements
Plans
Rajouter une version
Utilisateur : Coquillages & Poincaré
Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr
Références :
Utilisateur : Tintin
Cette leçon demande par mal d'investissement car le calcul différentiel n'est plus très privilégié alors il est rare d'avoir un bon cours qui traite très bien le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites et qui donne des exemples d'applications ! Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire pas mal d'exercices d'application de ces théorèmes afin de mieux les retenir.
Après, il y a les sous-variétés... Cette notion est encore moins traitée que le calcul différentiel alors elle demande encore plus d'investissement... Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir (définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent) mais ça reste difficile lorsqu'on en a jamais fait. Il faut également connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples et trouver des espaces tangents en un point dans des espaces de matrices par exemple. Inutile ensuite d'aller plus loin vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes ou d'atlas !) car le jury sait que cette leçon est difficile pour les candidats alors il ne demande pas un niveau de maîtrise excellent.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Introduction aux variétés différentielles
Analyse
Petit guide de calcul différentiel
Objectif Agrégation
Utilisateur : Mathis Lemay
Ah la la cette leçon ! C'est une impasse pour beaucoup de gens (ce que je comprends), mais grâce à une bonne amie, j'ai pu avoir les outils pour la travailler et je me suis lancé pour la faire et la présenter en classe. Elle demande pas mal de travail, et honnêtement je ne sais pas si c'est un si bon investissement que ça mais personnellement elle m'a beaucoup plu.
Il faut savoir démontrer les 2 théorèmes du titre de la leçon (au moins l'un des deux et avoir une idée de comment en déduire l'autre) et surtout faire plein d'exercices d'application plus ou moins \"futée\" de ces théorèmes. On trouve de belles applications du TFI dans le Beck (EX29 et EX30).
Après, il y a la partie difficile : les sous-variétés... Le Lafontaine les traite, mais de là à dire qu'il les traite d'une façon parfaitement claire... C'est autre chose... Dans notre prépa agreg, on a demandé à un prof de nous faire un mini-cours sur les sous-variétés. Dans le fond, il n'y a pas grand chose à savoir mais ça reste difficile : la définition d'une sous-variété accompagnée du schéma, et toutes les caractérisations (par une équation implicite, par un paramétrage, par un graphe), et enfin la notion d'espace tangent. Il faut connaître chaque caractérisation de l'espace tangent correspondant à la caractérisation de la sous-variété, et surtout faire des exemples ! Trouver l'espace tangent en un point à la sphère, à $\text{SL}_n(\mathbb{R})$, à $O_n(\mathbb{R})$... Et ça suffit, pas besoin d'aller vers la géométrie différentielle dans le cadre général (pas besoin de parler de cartes, d'atlas ou je ne sais quoi...)
Dans l'optique de travailler toutes ces notions, je conseille d'essayer de faire en développement le théorème des extrema liés (voir ma version du DEV). Le seul problème, c'est qu'il n'y a pas de référence à proprement parler pour ce développement, à part le Avez Calcul Différentiel mais c'est un vieux livre de calcul diff franchement pas très digeste...
Pour finir, si j'étais tombé dessus le jour J, je n'aurais certainement pas mis EX33, THM52 et EX57 (je fais l'inégalité de Hadamard autrement).
Références :
Introduction aux variétés différentielles
Petit guide de calcul différentiel
Analyse
Objectif Agrégation
Calcul différentiel
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2
Utilisateur : TC&WM
Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
Bonne preparation à vous !
Références :
Utilisateur : Hugo
Cette leçon faisait partie du couplage que j'ai tiré cette année. Mais je n'aime ni le calcul différentiel, ni la géométrie.
J'ai essayé d'inclure un maximum d'applications pour éviter de parler de sous-variétés, thème sur lequel je ne suis pas du tout à l'aise.
Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
Références :
Utilisateur : Brunel
Mes métaplans ne sont pas vérifiés par une personne compétente, attention donc à la pertinence de ceux-ci.
(Le plan à l'air court mais si on développe tout il n'y a aucun soucis)
Références :
Petit guide de calcul différentiel
Objectif Agrégation
Utilisateur : AdrienChd
Plan de leçon éprouvé par une présentation durant l'année. Le plan est très dense ; on peut tout à fait ne pas faire la troisième partie si on n'est pas à l'aise avec les sous-variétés. On se rangera à l'avis du jury, qui considère qu'il est inutile de présenter les résultats en dimension infinie si les seuls exemples que l'on en sort ne relèvent que de la dimension finie (cf. Rouvière, Chp 5).
Références :
Objectif Agrégation
Analyse
Introduction aux variétés différentielles
Petit guide de calcul différentiel
131 Développements pour l’oral
Calcul différentiel
Utilisateur : Demesmay
Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
Références :
Utilisateur : Agent B0
A la fin de l'année, j'ai enlevé le lemme de Morse de mes développements, j'avais à la place un exercice du Gourdon sur des fonctions \"strictement monotone\" et le théorème d'inversion local/global
Références :
Introduction aux variétés différentielles
Petit guide de calcul différentiel
Calcul différentiel
Objectif Agrégation
Analyse
Utilisateur : JULIEN L
La référence principale c'est calcul différentiel de El Amrani mais je ne l'ai pas trouvé sur le site
Références :
Objectif Agrégation
Petit guide de calcul différentiel [Doublon]
Calcul différentiel
Analyse
Utilisateur : Pandou
Références :
Calcul différentiel
Analyse
Introduction aux variétés différentielles
Groupes de Lie classiques
Cours d'analyse
Calcul différentiel et calcul intégral
Utilisateur : Jouaucon
Plan très fortement inspiré du plan de M. Cacitti-Holland: http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~dcaci409/Agregation.html#lecons
Références en fin de plan avec les notations:
[ElAm] Calcul Différentiel : El Amrani (pas référencé dans agregmaths)
[Zad] Un max de maths : Zavidovique
[ZQ] Analyse pour l'agrégation : Queffelec, Zuily
Références :
Un max de maths
Analyse pour l'agrégation
Utilisateur : Maurer
Références :
Utilisateur : Marvin
Références :
Calcul différentiel
Introduction aux variétés différentielles
Petit guide de calcul différentiel
Analyse
Utilisateur : F.A.
Toutes les références sont à la fin du plan.
Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
Références :
Utilisateur : abarrier
Références :
Utilisateur : Owen
Références :
Petit guide de calcul différentiel
Introduction aux variétés différentielles
Objectif Agrégation
Groupes de Lie classiques
Utilisateur : Antoine Domenech
J'aime beaucoup cette leçon. J'aurais peut-être dû ne pas faire de schéma du folium pour gagner de la place pour les autres schémas. Il faut être au point sur les preuves usuelles de la leçon (dont inversion locale !). Il aurait été bon que je mette plus d'exemples \"pratiques\" ou plus développés mais... j'avais besoin de place pour bien traiter la géo diff.
Petits typos :
-dans l'ex2, il faut préciser que les intervalles sont ouverts, et je ne parle pas d'un cercle mais d'un disque
-dans mes propriétés 29 et 30, il est plus juste d'écrire \"Localement, à difféomorphisme près\" ou \"A difféomorphismes locaux près\" : il n'y a pas unicité du difféo...
A propos des refs, Lafontaine traite très bien la géodiff et l'inversion locale. Objectif Agrégation est une perle pour les applications et les schémas. Rouvière est très bien pour les exemples et applications, mais je n'aime vraiment pas son formalisme dans le cours (il se perd dans des formulations analytiques au lieu de parler d'injectivité/surjectivité des différentielles...).
En bref, une leçon très plaisante, où l'on a énormément de choses à dire - il ne faut pas trainer le jour J.
Références :
Introduction aux variétés différentielles
Objectif Agrégation
Petit guide de calcul différentiel
Utilisateur : Etienne Donier-Meroz
Références :
Utilisateur : Florian Dussap
Références :
Utilisateur : Cyril
Références :
Introduction aux variétés différentielles
Petit guide de calcul différentiel
Groupes de Lie classiques
Calcul différentiel
Utilisateur : Promo ENSL 2016
Références :
Retours
Anonyme
| Année : 2022
Leçon choisie : 1529
Développement choisi par le jury :
Extrema liés
Autre développement proposé :
Pas de réponse fournie.
Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
D'abord des questions du le développement (théorème des extrema liés) : on me demande comment prouver le théorème de forme normale des submersions (que j'utilise dans le développement). Là j'ai un trou et je n'arrive pas bien à réfléchir car c'est mon dernier oral et je suis fatiguée. Le jury finit pas dire \"on passe à autre chose\", je me suis dit que ça partait mal mais en fait je me suis rattrapée ensuite. On commence par me poser des exercices très faciles d'application directe du TIL et du théorème des fonctions implicites, et au fur et à mesure le jury rajoutait des questions de plus en plus difficiles : au bout d'un moment je ne savais vraiment plus répondre, ils m'ont donc aidée un peu, et l'oral s'est terminé au milieu d'un exercice.
D'abord des questions du le développement (théorème des extrema liés) : on me demande comment prouver le théorème de forme normale des submersions (que j'utilise dans le développement). Là j'ai un trou et je n'arrive pas bien à réfléchir car c'est mon dernier oral et je suis fatiguée. Le jury finit pas dire \"on passe à autre chose\", je me suis dit que ça partait mal mais en fait je me suis rattrapée ensuite. On commence par me poser des exercices très faciles d'application directe du TIL et du théorème des fonctions implicites, et au fur et à mesure le jury rajoutait des questions de plus en plus difficiles : au bout d'un moment je ne savais vraiment plus répondre, ils m'ont donc aidée un peu, et l'oral s'est terminé au milieu d'un exercice.
Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury neutre mais plutôt gentil. Il n'aidait pas beaucoup, donc parfois quelques blancs pendant plusieurs minutes quand je réfléchissais.
Jury neutre mais plutôt gentil. Il n'aidait pas beaucoup, donc parfois quelques blancs pendant plusieurs minutes quand je réfléchissais.
L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
RAS, tout était bien organisé. J'ai mis beaucoup de temps à écrire le plan (2h30) vu qu'il y a pas mal de dessins à faire en annexe. Je n'ai donc pas revu mes développements (mais je savais que je les connaissais bien). Sur la fin j'essayais de revoir les démonstrations des résultats du plan. Je n'ai pas eu le temps de réfléchir à la présentation de 6 min, j'y ai réfléchi rapidement en attendant devant la porte de la salle juste avant l'oral.
RAS, tout était bien organisé. J'ai mis beaucoup de temps à écrire le plan (2h30) vu qu'il y a pas mal de dessins à faire en annexe. Je n'ai donc pas revu mes développements (mais je savais que je les connaissais bien). Sur la fin j'essayais de revoir les démonstrations des résultats du plan. Je n'ai pas eu le temps de réfléchir à la présentation de 6 min, j'y ai réfléchi rapidement en attendant devant la porte de la salle juste avant l'oral.
Note obtenue :
14.0
Références:
Utilisateur : Jimbo
| Année : 2020
Leçon choisie : 1529
Autre leçon :
Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.2025
Développement choisi par le jury :
Théorème des fonctions implicites
Autre développement proposé :
Pas de réponse fournie.
Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
1) Questions sur le dev (théorème des fonctions implicites) - Vérification que j'avais compris le calcul d'une différentielle dans mon dev - Pourquoi on pouvait \"deviner\" que la différentielle de la fonction implicite était de la forme proposée dans l'énoncé du théorème - Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue? 2) Questions sur le plan - Et si dans le théorème des fonctions implicites on suppose que $f$ est plus régulière (par exemple de classe $C^k$), est ce qu'on a plus de régularité sur la fonction implicite $\phi$? ($\phi$ est de classe $C^k$ d'après l'expression de sa différentielle) - Justifier pourquoi exp (matricielle) est un difféomorphisme local en $0_n$ (classique) - Montrer que exp (matricielle) est dérivable partout (utiliser les théorème de dérivation des séries de fonctions) - Qu'est ce qu'un difféomorphisme global, quel est le lien avec les difféomorphismes locaux? - Donner un exemple de difféomorphisme local non difféomorphisme global (l'application $z \mapsto z^2$ où $z \e 0$ est vu comme un complexe) - Illustrer le théorème des extremas liés par une figure (j'ai bidouillé une figure, ce n'était pas très convainquant, on est passé à la suite) 3) Exercices - Soit $f$ une application $\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$ de classe $C^1$ telle que $\forall x \in \mathbf{R}^n, \forall y \in \mathbf{R}^n, ||f(x)-f(y)|| \geq ||x-y||$. Montrer que $f$ est un difféomorphisme global de $\mathbf{R}^n$ sur $\mathbf{R}^n$ (injectivité évidente, montrer que f est un difféomorphisme local en vérifiant que la différentielle est injective, en déduire que l'image de $f$ est ouverte, vérifier l'image est complète par des suites de Cauchy donc fermée, et enfin conclure que l'image est $\mathbf{R}^n$ tout entier par connexité)
1) Questions sur le dev (théorème des fonctions implicites) - Vérification que j'avais compris le calcul d'une différentielle dans mon dev - Pourquoi on pouvait \"deviner\" que la différentielle de la fonction implicite était de la forme proposée dans l'énoncé du théorème - Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue? 2) Questions sur le plan - Et si dans le théorème des fonctions implicites on suppose que $f$ est plus régulière (par exemple de classe $C^k$), est ce qu'on a plus de régularité sur la fonction implicite $\phi$? ($\phi$ est de classe $C^k$ d'après l'expression de sa différentielle) - Justifier pourquoi exp (matricielle) est un difféomorphisme local en $0_n$ (classique) - Montrer que exp (matricielle) est dérivable partout (utiliser les théorème de dérivation des séries de fonctions) - Qu'est ce qu'un difféomorphisme global, quel est le lien avec les difféomorphismes locaux? - Donner un exemple de difféomorphisme local non difféomorphisme global (l'application $z \mapsto z^2$ où $z \e 0$ est vu comme un complexe) - Illustrer le théorème des extremas liés par une figure (j'ai bidouillé une figure, ce n'était pas très convainquant, on est passé à la suite) 3) Exercices - Soit $f$ une application $\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$ de classe $C^1$ telle que $\forall x \in \mathbf{R}^n, \forall y \in \mathbf{R}^n, ||f(x)-f(y)|| \geq ||x-y||$. Montrer que $f$ est un difféomorphisme global de $\mathbf{R}^n$ sur $\mathbf{R}^n$ (injectivité évidente, montrer que f est un difféomorphisme local en vérifiant que la différentielle est injective, en déduire que l'image de $f$ est ouverte, vérifier l'image est complète par des suites de Cauchy donc fermée, et enfin conclure que l'image est $\mathbf{R}^n$ tout entier par connexité)
Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Attitude neutre, un tout petit peu d'aide
Attitude neutre, un tout petit peu d'aide
L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Première fois que je présentais un résultat sur un tableau (candidat libre), j'ai rédigé de façon assez brouillonne le dev.
Première fois que je présentais un résultat sur un tableau (candidat libre), j'ai rédigé de façon assez brouillonne le dev.
Note obtenue :
19.0
Références:
Utilisateur : Daigusto
| Année : 2018
Leçon choisie : 1529
Autre leçon :
Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.2025
Développement choisi par le jury :
Théorème de D'Alembert-Gauss par connexité
Autre développement proposé :
Pas de réponse fournie.
Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...
Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...
Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.
Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.
L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.
J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.
Note obtenue :
9.0
Références: