162 - Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2025

Rapport du jury 2022

Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l'essentiel des attendus. Il est impératif de faire le lien avec la notion de système échelonné (dont on donnera une définition précise et correcte) et de situer l'ensemble dans le contexte de l'algèbre linéaire, sans oublier la dualité. Un point de vue opératoire doit accompagner l'étude théorique et l'intérêt algorithmique des méthodes présentées doit être expliqué, éventuellement en l'illustrant par des exemples simples (où l'on attend parfois une résolution explicite).\rParmi les conséquence théoriques, les candidats peuvent notamment donner des systèmes de générateurs de $GL_n(K)$ et $SL_n(K)$. Ils est aussi pertinent de présenter les relations de dépendance linéaire sur les colonnes d'une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l'action à gauche de $GL_n(K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent exploiter les propriétés des systèmes d'équations linéaires pour\rdéfinir la dimension des espaces vectoriels et obtenir une description de l'intersection de deux sous-\respaces vectoriels donnés par des systèmes générateurs, ou d'une somme de deux sous-espaces vectoriels\rdonnés par des équations.\r\rDe même, des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent\rtrouver leur place dans cette leçon. Enfin, il est possible de présenter les décompostions LU et de\rCholeski, en évaluant le coût de ces méthodes ou encore d'étudier la résolution de l'équation normale\rassociée aux problèmes des moindres carrés et la détermination de la solution de norme minimale par\rla méthode de décomposition en valeurs singulières.

Rapport du jury 2019

Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l’essentiel des attendus. Il est impératif de faire le lien avec la notion de système échelonné (dont on donnera une définition précise et correcte) et de situer l’ensemble dans le contexte de l’algèbre linéaire, sans oublier la dualité. Un point de vue opératoire doit accompagner l’étude théorique et l’intérêt algorithmique des méthodes présentées doit être expliqué, éventuellement en l’illustrant par des exemples simples(où l’on attend parfois une résolution explicite). $\\$ Parmi les conséquence théoriques, les candidats peuvent notamment donner des systèmes de générateurs de $Gl_n(\textbf{K})$ et $Sl_n(\textbf{K})$. Ils est aussi pertinent de présenter les relations de dépendance linéaire sur les colonnes d’une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l’action à gauche de $Gl(n,textbf{K})$ sur $M_n(\textbf{K})$ donnée par $(P,A) \mapsto PA$. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent exploiter les propriétés des systèmes d’équations linéaires pour définir la dimension des espaces vectoriels et obtenir une description de l’intersection de deux sous-espaces vectoriels donnés par des systèmes générateurs, ou d’une somme de deux sous-espaces vectoriels donnés par des équations. $\\$ De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur $\textbf{Z}$ et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon. Enfin, il est possible de présenter les décompositions LU et de Choleski, en évaluant le coût de ces méthodes ou encore d’étudier la résolution de l’équation normale associée aux problèmes des moindres carrés et la détermination de la solution de norme minimale par la méthode de décomposition en valeurs singulières.

Rapport du jury 2017

Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l’essentiel des attendus. Il est impératif de présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte, et de situer l’ensemble dans le contexte de l’algèbre linéaire (sans oublier la dualité). Un point de vue opératoire doit accompagner l’étude théorique et l’intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l’on attend parfois une résolution explicite.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter les relations de dépendance linéaire sur les colonnes d’une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l’action à gauche de $GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$. De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon. Enfin, il est possible de présenter les décompostions LU et de Choleski , en évaluant le coût de ces méthodes ou encore d’étudier la résolution de l’équation normale associée aux problèmes des moindres carrés et la détermination de la solution de norme minimale par la méthode de décomposition en valeurs singulières.

Rapport du jury 2016

Dans cette leçon, les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l’essentiel des attendus. Il est impératif de présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte, et de situer l’ensemble dans le contexte de l’algèbre linéaire (sans oublier la dualité). Un point de vue opératoire doit accompagner l’étude théorique et l’intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l’on attend parfois une résolution explicite.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aussi présenter les relations de dépendances linéaires sur les colonnes d’une matrice échelonnée qui permettent de décrire simplement les orbites de l’action à gauche de $GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$. De même, des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon.

Rapport du jury 2015

Il semble que cette leçon soit moins choisie par les candidats depuis l'ajout de l'aspect algorithmique dans l'intitulé. A ce sujet, il faut savoir que les techniques liées au simple pivot de Gauss constituent l'essentiel des attendus. La leçon doit impérativement présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte et situer l'ensemble dans le contexte de l'algèbre linéaire (sans oublier la dualité !).Pour les candidats chevronnés, les relations de dépendances linéaires sur les colonnes d'une matrice échelonnée sont claires et permettent de décrire simplement les orbites de l'action à gauche de$GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \longmapsto PA$.Un point de vue opératoire doit accompagner l'étude théorique et l'intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l'on attend parfois une résolution explicite. Des discussions sur la résolution de systèmes sur Z et la forme normale de Hermite peuvent trouver leur place dans cette leçon.

Rapport du jury 2014

Le jury n'attend pas une version à l'ancienne articulée autour du théorème de Rouché-Fontené, qui n'est pas d'un grand intérêt dans sa version traditionnellement exposée.\r\rLa leçon doit impérativement présenter la notion de système échelonné, avec une définition précise et correcte et situer l'ensemble dans le contexte de l'algèbre linéaire (sans oublier la dualité !). Par exemple les relations de dépendances linéaires sur les colonnes d'une matrice échelonnée sont claires et permettent de décrire simplement les orbites de l'action à gauche de $GL(n,K)$ sur $M_n(K)$ donnée par $(P,A) \rightarrow PA$. \rLe candidat doit pouvoir écrire un système d'équations de l'espace vectoriel engendré par les colonnes.\r\rUn point de vue opératoire doit accompagner l'étude théorique et l'intérêt pratique (algorithmique) des méthodes présentées doit être expliqué y compris sur des exemples simples où l'on attend parfois une résolution explicite.\r