Décomposition LU et décomposition de Cholesky
On montrera dans ce développement la factorisation LU :
Soit une matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ d'ordre $n$ dont toutes les sous-matrices diagonales
\[\Delta_k=
\begin{pmatrix}
a_{11} & . & . & a_{1k} \\
. & . & . & . \\
. & . & . & . \\
a_{k1} & . & . & a_{kk}
\end{pmatrix}
\]
sont inversibles. Il existe un unique couple $(L,U)$ avec $U$ triangulaire supérieure et $L$ triangulaire inférieure à diagonale unité tel que
\[A=LU.\]
mais aussi la décomposition de Cholesky :
Soit $A$ une matrice symétrique réelle définie positive. Il existe une unique matrice réelle $B$ triangulaire inférieure, telle que tous ses éléments diagonaux sont strictement positifs et qui vérifie :
\[A=B^tB.\]
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 154 | Exemples de décompositions de matrices. Applications. 2024 |
| 5 | 162 | Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2026 |
Utilisateur : Bertin Thomas
Dans le 1 : \"Utilisant les règles de multiplications par blocs de matrices, on trouve :\", j'ai jamais su justifier pourquoi on trouvait bien ce qu'on trouve. Sinon le reste se fait plutôt bien
Bien savoir montrer que le produit de deux matrices triangulaires sup est une matrice triangulaire sup et que l'inverse d'une mat tri sup est une mat tri sup'
Références :
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation\r - Ciarlet
Utilisateur : Camille C.
Au lieu de parler de la décomposition de Cholesky en complément, on peut parler de la complexité de la décomposition LU
p 69 à 72'
Références :
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier