Décomposition LU et décomposition de Cholesky

On montrera dans ce développement la factorisation LU : \rSoit une matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ d'ordre $n$ dont toutes les sous-matrices diagonales \r\[\Delta_k=\r\begin{pmatrix}\r a_{11} & . & . & a_{1k} \\\r . & . & . & . \\\r . & . & . & . \\\r a_{k1} & . & . & a_{kk} \r\end{pmatrix}\r\]\rsont inversibles. Il existe un unique couple $(L,U)$ avec $U$ triangulaire supérieure et $L$ triangulaire inférieure à diagonale unité tel que \r\[A=LU.\]\r\rmais aussi la décomposition de Cholesky : \r\rSoit $A$ une matrice symétrique réelle définie positive. Il existe une unique matrice réelle $B$ triangulaire inférieure, telle que tous ses éléments diagonaux sont strictement positifs et qui vérifie : \r\[A=B^tB.\]