Générateurs de GL_n(K) et SL_n(K) et application à la connexité
On démontre que $SL_n(K)$ est engendré par les matrices de transvection et qu'un élément de $GL_n(K)$ peut s'écrire comme un produit de transvections et d'au plus une dilatation.
Application à la connexité de $SL_n(R)$ et $SL_n(C)$ et aux deux composantes connexes de $GL_n(R)$.
On montre également la connexité de $GL_n(C)$, mais sans passer par les transvections/dilatations.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 108 | Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications. 2026 |
| 4 | 162 | Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.2026 |
Utilisateur : Lilian_26
Le dev est au recto, corollaire au verso
Réf : Rombaldi p.688 - 689
Recasage : 106, 108, 162, 204
Remarque : Développement intéressant qui mélange plusieurs notions. Je vous conseille de savoir donner la décomposition LU / en produit de transvection et dilatation d'une matrice. Je vous conseille de faire un plan en 4 items pour le théorème, et de prendre votre temps pour ne pas vous tromper avec les transvections.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Paviet
Dév pas costaud.
Je n'ai jamais rédigé ce dév sur papier, cependant quand je le faisais je prenais le Berhuy p80 et faisais comme lui, puis le Francinou pour SLn(K) connexe (par arcs).
Et si ca s'avérait court j'avais la section DOC (dense ouvert connexe) du carnet de voyage en algébrie.
À mon sens, montrer qu'un ensemble de matrices est connexe est classique, on passe par un système de générateurs, on montre la connexité par arcs en reliant à $+/-Id$. On pourra le faire par exemple avec $SO_3(\mathcal{R})$.'
Références :
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices - Grégory Berhuy
Oraux X-ENS Algèbre 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier
Utilisateur : Alice M
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)'
Références :
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices - Grégory Berhuy
Oraux X-ENS Algèbre 2\r - Francinou, Gianella, Nicolas
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier
Utilisateur : Mathis Lemay
Ce développement mérite d'être bien travaillé, surtout pour justifier que \"par hypothèse de récurrence, ça marche\", chose que j'ai essayé de faire à la fin en noir. L'application à la connexité permet de recaser ce développement dans la 204.
On peut optimiser le début de la récurrence je pense.'
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : F.A.
D'après moi pour les leçons : 108 et 162, peut-être plus utile pour la 162 car je ne trouve pas qu'il soit facile de trouver des développements pour celle-ci.
Les références pour chacune des démonstrations sont dans le document, mais il y a une coquille pour Gl_n(C), c'est l'application de R x ]0, 1[ -> C telle que t -> $\Psi_a$(t) qui est injective (pas [0,1] fermé !).
NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral.
J'écris assez mal également, toutes mes excuses.'
Références :
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices - Grégory Berhuy
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries - P. Caldero, J. Germoni
Un max de maths\r - Zavidovique