141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.2025

Rapport du jury 2023

Les généralités sur les algèbres de polynômes à une variable sont supposées connues. Le bagage théorique permettant de définir corps de rupture et corps de décomposition doit être présenté. Ces notions doivent être illustrées dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) ; les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\mathbb{F}_2$ ou $\mathbb{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques, par exemple les polynômes cyclotomiques. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes sont incontournables. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire.\r\rPour aller plus loin, on peut montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos, s'intéresser aux nombres constructibles à la règle et au compas, et éventuellement s'aventurer en théorie de Galois.