Construction des corps finis

Le dev est au recto, lemmes et autres appli au verso. Réf : Gozard p.85 et p.87 Recasage : 123, 125, 141, 144 Remarque : Résultat à connaître. Connaître des exemples simples (F4 ou F9). Bien connaître les lemmes au verso (sous groupe fini d'un corps est cyclique). Je vous conseille de numéroter les 3 résultats sur le plan de leçon et sur le tableau, et de prendre votre temps car le dev est court.'

Étant donné l’importance de ces résultats dans l’étude des corps finis, je pense qu’il est préférable de savoir les prouver (ou du moins avoir une idée de preuve). Cela est d’autant plus important si vous souhaitez présenter le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini, puisque ce dernier utilise ce théorème. Et quitte à savoir le prouver, autant en faire un développement. D’autre part, comme c’est souvent le cas en théorie des corps, il vaut mieux perdre en rigueur au profit d’une rédaction plus lisible. C’est pourquoi on identifie tous les corps de cardinal $p$ sous la notation $\mathbb{F}_p$. Toutefois, gardez bien en tête qu’il s’agit d’un abus de notation.'

Alors là, il y a des choses à dire... Malgré son caractère très classique, ce développement est sans doute l'un des plus dangereux que j'ai choisi. La masse de connaissance à avoir est énorme, beaucoup de choses doivent être sues, ce qui en fait un développement un peu à double tranchant: d'un côté c'est très bien parce qu'il fait réviser beaucoup de choses, mais d'un autre, il demande énormément de temps de préparation ce qui en fait un développement très peu rentable. La seconde page de mon document est entièrement dédiée à des connaissances dont on a besoin pour la démonstration. Chaque point est assez court, mais la somme est conséquente. En revanche, dans la leçon sur les corps finis, la maîtrise d'une construction des corps finis est explicitement demandée... On en présente une ici. Si vous faites le choix de prendre ce développement, préparez-le assez tôt dans l'année, de façon à pourvoir le reprendre plusieurs fois et bien le connaître. D'autant plus que le Gozard est franchement minimaliste sur ses explications. Pour couronner le tout, le développement est plutôt long, et on a vite fait de se perdre. Très heureux de ne pas être tombé sur cette horreur le jour J: avec le stress, je pense que ça a vite fait de tourner au vinaigre. Bref à conseiller à ceux et celles qui sont (très) à l'aise sur la théorie des corps, et bon courage! Côté recasages à mon avis: Corps finis Extensions de corps Polynômes irréductibles à une indéterminée Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.'

J'ai une version un peu différente de ce qui est donné dans l'énoncé : 1. Construction des corps finis avec le corps de décomposition 2. Montrer qu'un sous groupe fini de K* est cyclique 3. En déduire l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur Fp pour tout n, p; et donc une 2e construction avec le corps de rupture cette fois ci'

Retrouvez toutes les leçons et tous les développements, ainsi que des cours (avec les fichiers sources) sur mon site www.coquillagesetpoincare.fr'

La rédaction du Gozard est assez minimaliste et est (je trouve) très bien complétée par les explications de Marie. Je me suis permis de réécrire ce développement avec ma propre rédaction en corrigeant une petite coquille de Marie (stabilité de L par addition), et en espérant ne pas en avoir ajouté. Le développement est trop court sans les corollaires, qui ne doivent pas être placés juste après le théorème dans le plan car on a besoin du fait que $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique.'

Mis à jour le 12.06.17'

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