108 - Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.2025

Leçon choisie : 1493

Autre leçon : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Simplicité du groupe alterné An

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai eu des questions pas uniquement liées aux parties génératrices mais certaines parties de mon plan l'ont suggéré (j'ai aussi tendu qques perches, l'oral est VRAIMENT un jeu de séduction...) -On revient sur mon dev (preuve du Perrin) où j'ai démontré que les 3-cycles engendrent An (>=3) puis J'ADMETS que les 3-cycles sont conjugués dans An (n>=5) en disant que c'est le caractère n-2 transitif de An qui fait marcher. J'admets aussi que les bi-transpo sont conjuguées dans A5, puis je fais A5 simple puis An, n>5 - On me demande quel est D(An) n>=5. Je dis An et je finis par le remontrer en cherchant un peu (je savais que ça tournait autour de G/D(G)...) j'ai oublié de mentionner ce résultat dans mon plan -On me fait chercher sur des exemples (dans An) comment écrire un élément comme produit de commutateurs. Je galère un peu mais je finis par y arriver -Je mentionne dans mon plan le groupe diédral et j'explique qu'avec la formule de Burnside \"\"on peut calculer des colliers de perles\"\". On me demande ce qu'est la formule de Burnside. Je dis que je ne me souviens pas parfaitement de la formule, mais que la preuve m'y aidera : je fais donc la preuve et retrouve l'expression -Autour de mon autre développement on va me poser deux questions, la première : je mentionne que les géné de SLn,GLn permettent d'aboutir à Frob_Zolotarev en sachant que la signature et le symbole de Legendre sont les uniques morphismes non triviaux de leurs espaces de départ respectifs dans +1-1. On me demande de justifier que le Symbole de Legendre est bien uniq mor non trivial et je fais la justification tout komilfo ils avaient l'air content -On me pose alors un exo : mq GLn est engendré par les dzables inversibles. Je demande hypothèses sur le corps ils me disent à vous de voir. Je n'avais jamais vu et j'ai eu la bonne réaction face au jury : je cherche 30s voir si qqch me vient, finalement non et je dis que je teste sur n= 2 et je finis pas trouver : si K corps infini ça marche, ou alors n< |K| doit suffire. -On finit sur un exo raffinant les générateurs de Sn lorsque n est premier. Je donne des idées pas trop bêtes mais je n'y arrive pas, l'oral s'arrête là. On a du y rester au plus 3 minutes (je pense qu'il est bon de connaitre cet exo !)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
-Tout comme on me l'avait vendu. Ils sont trois, lors des 6 minutes la femme me regarde tout du long et les deux autres scrutent le plan, il faut vraiment chercher à regarder le jury et jouer de ses qualités pédagogiques pendant la présentation du plan (si on n'est pas un monstre, faire un dév pas trop dur en cherchant à bien faire comprendre les idées lors des différentes étapes du dév etc) -Le jury scrute tout les détails du plan et font préciser à l'oral : j'ai du, par ex, écrire que la signature était l'unique mor à valeurs dans C : j'ai précisé que c'était C* à l'oral, ce genre de choses ! -Encore une fois, le jury ne cherche pas à piéger et est très gentil : il rappelle les modalités de l'épreuve, ne cherche pas à vous déstabiliser, il essaie de voir ce que vous pouvez faire en 35 minutes !

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
3H c'est vraiment très court, je pense qu'il est vraiment bon (ma leçon s'y prêtait aussi) d'aller chercher vite dans les livres et de plier le plan en max 1h45 pour avoir le temps de revoir certaines preuves un peu de base du cours et ses développements En ce qui concerne mon plan, j'ai fait on ne peut plus classique : I-géné sur les parties génératrices, II-Cas des groupes monogènes, III-Des études de groupes classiques Je pense qu'on peut parler de dualité dans un groupe (abélien?) mais il faut avoir investi un peu le sujet, sous l'angle que connaître G* renseigne sur G. J'avais travaillé le truc mais j'y ai pas pensé le jour J et j'ai préféré revoir des preuves le jour J que de commencer à réfléchir à comment faire une partie cohérente en 30min. En tout cas, ce n'est pas nécéssaire pour assurer une super note et ça me fait dire aussi que l'originalité n'est absolument pas obligatoire pour avoie >=15 (absolument RIEN n'était original dans mes plans/dev) BON COURAGE aux futurs agrégatifs !!!

Note obtenue : 15.75

Leçon choisie : 1493

Autre leçon : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.2025

Développement choisi par le jury : Automorphismes de Sn

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Le jury a commencé par revenir sur le développement. Ils m'ont demandé de justifier que $\mathfrak S_n$ était engendré par les $(1\, i)$, je n'attendais pas cette question et j'ai eu un peu de mal à le faire (j'ai pris le cas de $\mathfrak S_3$ pour ensuite faire le cas général). Puis le jury m'a demandé de réexpliquer un point du développement sur lequel je suis passé un peu rapidement. Ils m'ont ensuite demandé qu'elle était la plus petite partie génératrice de $\mathfrak S_n$ (la réponse était dans mon plan) puis quelle était le nombre minimal de transpositions nécessaires pour engendrer $\mathfrak S_n$ (j'ai eu l'intuition du résultat, le jury a confirmé que c'était une bonne idée et j'ai trouvé la preuve rapidement). Ensuite, ils sont passés aux questions sur le plan. Ils m'ont demandé comment je faisais pour prouver que le groupe multiplicatif d'un corps fini était cyclique, à partir de la formule $n=\sum_{d\mid n} \varphi(d)$. Je me souvenais du plan de la preuve, mais je ne me souvenais plus vraiment d'un point, le jury m'a donné une indication et ça m'est revenu. Puis ils m'ont demandé si le caractère fini du corps était nécessaire (non). Ils m'ont demandé quelle topologie je mettais sur les espaces de matrices et ils m'ont demandé quelles étaient les propriétés topologiques de $\mathrm{SO}_n(\mathbb R)$ (j'avais mis dans le plan qu'il était connexe par arcs, mais je n'avais pas dit qu'il était compact). Ils m'ont demandé de prouver que $\mathrm{GL}_n(K)$ était engendré par les transvections et les dilatations (à partir du fait que $\mathrm{SL}_n(K)$ est engendré par les transvections). J'ai mentionné l'algorithme du pivot de Gauss lors de la présentation du plan, le jury m'a donc demandé à quoi servait cet algorithme et quelle était son efficacité. Comme je parlais de la fonction indicatrice d'Euler dans le plan, ils m'ont demandé si je connaissais une formule pour $\varphi(n)$. J'ai dit que oui, en utilisant la multiplicativité de la fonction. Ils m'ont alors demandé de prouver la multiplicativité. J'ai répondu qu'on pouvais le prouver avec le théorème chinois, ils m'ont alors demandé comment je construisais le morphisme de $\mathbb Z/pq\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/q\mathbb Z$. J'ai posé l'application dans le bon sens, donc ça a été. J'ai dit une petite bêtise : je me suis fait la réflexion que ce que je faisais jusque là fonctionnerait sans supposer $p$ et $q$ premiers entre eux. Le jury m'a demandé si j'étais sûr de ça, j'ai dit que j'allais vérifier et je me suis rendu compte de mon erreur. Ils m'ont alors demandé ce qui se passait dans le cas où $p$ et $q$ ne sont pas premiers entre eux. J'ai répondu qu'il fallait alors considérer $\mathrm{PPCM}(p,q)$. Ils m'ont ensuite demandé comment inverser ce morphisme, j'ai répondu par l'algorithme d'Euclide étendu et le jury est passé à la suite. Le jury m'a demandé si je connaissais un système de générateurs de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. J'ai tenté une première réponse (fausse). Comme je ne connaissais pas la réponse, le jury m'a donnée deux matrices puis m'a demandé de montrer que les deux matrices étaient génératrices. J'ai essayé d'adapter la preuve du cas $\mathrm{SL}_n(K)$, mais ce n'était pas vraiment ça. Le jury m'a beaucoup guidé et après plusieurs minutes, j'ai fini par réussir. J'avais parlé du groupe dérivé de $\mathfrak S_n$ dans le plan, le jury m'a demandé de définir ce que c'était en général et quelles étaient ses propriétés. Enfin le jury m'a demandé comment faire pour déterminer un générateur de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$. J'ai répondu que je ne connaissais pas de méthodes autres que d'essayer. Le jury m'a demandé alors de le faire pour $p=17$, j'ai commencé à essayer avec 2. Le jury m'a alors fait différentes remarques, j'ai senti qu'ils essayaient de me faire comprendre quelque chose mais il n'y avait plus de temps et ça s'est arrêté là.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
La préparation. Je suis passé sur une leçon que j'aimais bien et connaissais bien, je savais quoi mettre dans mon plan, je connaissais plutôt bien mes développements et je savais quelles références utiliser et malgré tout, je n'avais que très peu d'avance. J'ai fini d'écrire le plan 10 minutes avant qu'il ne soit ramassé pour photocopie. Il ne faut pas trainer lors de la préparation ! (et ne pas faire des plans à 40 items...) L'oral. J'ai été surpris par les questions : le jury a posé beaucoup de questions sur le plan, comment je faisais pour démontrer tel résultat, etc, mais presque pas d'exercices.

Note obtenue : Pas de réponse fournie.

Leçon choisie : 1493

Autre leçon : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.2025

Développement choisi par le jury : Prolongement des caractères

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
J'ai proposé 3 développements, Sylow+ majoration du cardinal d'une partie génératrice minimale, Prolongement des caractères+classification des groupes abéliens finis et Frobénius Zolotarev+calcul de (2/p) (FZ se démontre à partir du fait que GL(E) est engendré par les dilatations) Ils ont choisi le théorème de classification des groupes. Ils m'ont demandé pourquoi le prolongement proposé était bien défini, j'ai donné tous les éléments mais je n'ai pas su recoller les morceaux et au bout de 5 minutes ils m'ont dit regardez c'est parce que vous n'avez pas utiliser les 2 côtés de l'égalité. A un moment j'ai dit qu'on pouvait prendre n'importe quel caractère non trivial du groupe engendré qui réalise le ppcm des ordres alors qu'il fallait choisir un morphisme injectif, ils m'ont donc demandé de construire un caractère injectif d'un groupe cyclique. Ils m'ont demandé de redémontrer le théorème du produit direct dans le cadre des groupes abéliens parce que je m'en suis servi dans ma démonstration. J'ai répondu de manière concise en me servant de quelques éléments que j'avais écris au tableau. Ils m'ont demandé si c'était difficile de démontrer le fait qu'il existait un élément dont l'ordre est égal au ppcm des ordres. J'ai répondu que non, la clef était le fait que si les ordres de a et b sont premiers entre eux alors l'ordre de ab est le produit des ordres mais que ça ne marchait pas si le groupe n'était pas abélien. Ils m'ont demandé de donner la classification des groupes abéliens de type fini sans démonstration. Par chance je connaissais la réponse et j'avais oublié de le mettre dans mon plan; j'ai parlé rapidement des groupes abéliens libre de type fini et que donc avec le théorème que l'on avait montré, en concaténant les 2 résultats on obtenait la classification voulue. Ils m'ont demandé si le lemme sur le ppcm des ordres était vrai sur les groupes non abéliens (visiblement le juré ne m'avait pas écouté). J'ai répondu que pour S3 ça ne marchait pas, il n'a pas d'élément d'ordre 6. Ils m'ont demandé de démontrer pourquoi il n'y avait que la signature comme morphisme non trivial de Sn dans C*. J'ai dit tout ce qu'il fallait sauf le fait que les transpositions sont conjuguées et ont donc toute la même valeur, un juré me l'a demandé, j'ai corrigé en disant que les transpositions sont conjuguées et C* est commutatif. Ils m'ont demandé de montrer que Q n'était pas un groupe libre de type fini. J'ai dit que si l'on avait un groupe abélien de type fini alors il y avait une distance entre ce groupe intersecté avec R+* et 0. Ca ne les a pas trop satisfait, quand bien même la réponse était juste, ils m'ont fait démontrer que le groupe <1/2,1/3,1/7> était isomorphe à Z (sans passer par la classification des sous groupes de R). Je n'ai aucune idée de comment ils voulaient que je conclus. Ils ont finalement dit que la distance avec 0 leur suffisait. Dans mon plan il y avait la connexité de Gln(C)/Gln+(R)/Sln(C ou R), ils m'ont demandé de démontrer la connexité de Gln+(R). J'ai donc montré que les transvections et les dilatations étaient reliées à l'identité puis pour n'importe quelle matrice on écrit que c'est un produit de transvections et 1 dilatation et l'on fait le produit des chemins. Ils m'ont demandé de donner un système de générateur de On(R), j'ai dit que les réflexions engendraient On(R). Le juré qui dirigeait l'oral m'a dit qu'il avait des lacunes sur ce qu'était une réflexion et m'a donc demandé ce que c'était. Je n'ai pas su répondre :/ Ils m'ont donc demandé ce qu'il y avait dans On(R). J'ai répondu qu'il y avait les rotations. Ils m'ont demandé de montrer que ça ne pouvait pas engendrer On(R). J'ai dit \"alors si je ne dis pas de bêtises les rotations commutent\", un juré avait une tête de pas content j'ai donc dit \"bon apparemment j'ai dit une bêtise\" et les jurés ont souri. Je ne sais pas comment mais dans ma tête ça a fait tilt, j'ai dit que les rotations avaient toutes un déterminant positif et donc elles ne peuvent pas engendrer On(R). J'ai dit que peut-être On(R)= <rotations,-Id> et ils m'ont demandé quel était le déterminant de -l'identité. J'ai donc directement proposé de regarder la matrice diag(-1,1,1,1,...,1) et là ils m'ont dit que l'ensemble de ces endomorphismes engendraient On(R). Un juré a dit à l'autre juré que c'était ça une réflexion. J'avais proposé un exercice qui était \"Montrer ,sans utiliser de produit semi direct, que tout groupe non commutatif d'ordre 2p avec p premier impair était isomorphe au groupe diédral D2p\". Ils m'ont donc demandé de le démontrer, j'y suis presque arrivé et ils m'ont dit bon on voit que ça va marcher mais on n'a plus de temps. (C'est un exercice tiré du Cortella)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très gentil. Mais je pensais quand même avoir une meilleure note...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Ils n'ont pas choisi mon développement original :/

Note obtenue : 14.0