Décomposition polaire et marche quantique unitaire

On considère des matrices $A$ et $B$ telles que $A^*A+B^*B=Id$ et $A^*B=0$. Alors il existe un projecteur $P$ et une matrice unitaire $U$ tels que $A=UP$ et $B=U(Id-P)$. La condition sur $A$ et $B$ équivaut au fait que la matrice suivante est unitaire : $$ \begin{pmatrix} 0 & B & 0 & 0& \cdots & A \\ A& 0 & B & 0 \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots \\ B & 0 & 0 & \cdots & A& 0 \end{pmatrix} $$ Cette matrice décrit la marche quantique unitaire sur Z/nZ