Décomposition polaire et marche quantique unitaire

On considère des matrices $A$ et $B$ telles que $A^*A+B^*B=Id$ et $A^*B=0$. Alors il existe un projecteur $P$ et une matrice unitaire $U$ tels que $A=UP$ et $B=U(Id-P)$. \r\rLa condition sur $A$ et $B$ équivaut au fait que la matrice suivante est unitaire : \r$$\r\begin{pmatrix}\r0 & B & 0 & 0& \cdots & A \\\rA& 0 & B & 0 \cdots & 0 \\\r\vdots & \ddots \\\rB & 0 & 0 & \cdots & A& 0\r\end{pmatrix}\r$$\rCette matrice décrit la marche quantique unitaire sur Z/nZ