153 - Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.2025

Rapport du jury 2023

Cette leçon doit aborder le bagage théorique propre aux vecteurs propres et aux valeurs propres et mettre en lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après avoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples de matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre ni, matrices stochastiques...) et donne des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres s'avère utile. On doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire est non exigible et hors programme et introduire sur $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$ une ou plusieurs méthodes itératives, dont on démontre la convergence. On peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et $QR$ pour la recherche d'éléments propres. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être maîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu et illustré. On peut aussi s'intéresser à la localisation des valeurs propres.\r\rPour aller plus loin, on peut aborder la problématique du conditionnement en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes, s'intéresser aux liens qui peuvent aussi être faits avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide, ainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de matrices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.

Rapport du jury 2022

Cette leçon doit aborder la notion de vecteurs propres et de valeurs propres de façon générale et mettre\ren lumière l'exploitation de techniques d'algèbre ou d'analyse pour aborder leur recherche. Après\ravoir exploré la détermination théorique exacte des éléments propres, on s'intéresse à des exemples\rde matrices dont les éléments propres sont remarquables (matrices compagnons, matrices circulantes, matrices d'ordre fini...) et donné des exemples de situations où la connaissance d'éléments propres\rs'avère utile. \r\rOn doit connaître les limites du calcul exact, même si le cadre mathématique nécessaire\rest non exigible et hors programme et introduire sur R ou C une ou plusieurs méthodes itératives,\rdont on démontre la convergence. Les notions de norme matricielle, de rayon spectral doivent être\rmaîtrisées. Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = AX_n$ doit être connu et illustré.\rOn peut s'intéresser à la localisation des valeurs propres. La problématique du conditionnement doit\rêtre abordée en distinguant le problème général et le cas particulier des matrices auto-adjointes. Parmi\rles points intéressants à développer, on peut citer les méthodes de la puissance, puissance inverse et\rQR pour la recherche d'éléments propres. S'ils le désirent, les candidats peuvent s'intéresser aux liens\rqui peuvent aussi être fait avec la théorie des représentations et la transformée de Fourier rapide,\rainsi qu'au comportement de la suite des itérées de matrices stochastiques ou plus généralement de\rmatriices à coefficients positifs, au moins dans des cas particuliers.