Utilisateur : Golaretuf

Fait dans Candelpergher page 46-47. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Démonstration du théorème par récurrence, provient de Gourdon. Voir aussi ma deuxième version (basée sur la démo de Wielandt). Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Démonstration inspirée de celle de Wielandt trouvée dans le livre de P.M. Cohn, \"Algebra. Volume 1\" (il y a surement d'autre référence possible, normalement c'est classique). Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Cette version contient la démo du lemme de Borel-Cantelli et deux applications (singe dactylographe et convergence de suite, il n'y a pas celle concernant les nombres premiers) à choisir selon la leçon. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Démonstration inspirée à la fois de celle de W. Rudin et celle de M. El Amrani, on convole avec le noyau de Gauss. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Énoncé : Soit $u_0 \in L^2(\mathbb{T})$, alors il existe une unique fonction $u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}_+^*\times \mathbb{T})$ telle que : 1) $\partial_t u - \partial^2_x u = 0$ pour $(x,t) \in \mathbb{R}^*_+\times \mathbb{T}$, 2) $\lim_{t \to 0} ||u(\cdot , t) - u_0||_{L^2} = 0$. On procède par analyse synthèse, pour moi l'unicité réside dans la condition 2). Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Dans cette version on montre l'existence et unicité d'un corps fini $\mathbb{F}_q$ à $q$ élément avec $q = p^n$ puis on montre que les sous corps de $\mathbb{F}_{p^n}$ sont exactement (à isomorphisme près) les $\mathbb{F}_{p^d}$ avec $d \mid n$. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Dans cette version j'utilise la formule d'inversion de Moebius sans la démontrer. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Dans cette version je compile trois façons différentes de calculer la transformée de Fourier de la gaussienne. Je pense qu'on pourrait faire un développement où on calcule cette transformée par la formule de Cauchy et par unicité du prolongement analytique pour la leçon 250 ou 245, quitte à calculer seulement la transformée de $x \mapsto e^{-ax^2}$ avec $a = 1$ pour aller plus vite (ce que je fait dans mes notes). Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Dans cette version je ne fait pas l'unicité, c'est déjà assez consistant comme ça. Je pense que c'est un développement qu'il faut travailler pour bien maitriser. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Dans cette version on montre le lemme des noyaux et on en donne deux applications (critère de diagonalisabilité, et le lemme montrant que les projections sont des polynômes), à choisir selon la leçon. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Le résultat est amusant mais ce développement ne rentre que dans la leçon sur l'indépendance. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

L’énoncé du premier théorème est tout à fait naturel, et cela fait un résultat facile à démontrer. L’ajout de l'application (classique) le complète bien et le rend un peu plus ”recasable”. Je ne sais pas si c'est suffisamment intéressant pour faire un \"bon\" développement mais ça peut combler. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Attention aux prérequis, dans cette version le théorème de Lévy et la régularité de la fonction caractéristique ne sont pas démontré. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.