Utilisateur : Horgues

Peut-être un peu court mais certains détails sont passés sous silence et mériteraient d'être expliqués. Utile principalement dans : 162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques 221 : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications. 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence $u_n+1=f(u_n)$. Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations. Et pourquoi pas, 157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes. '

Développement très dense. Faisable en quinze minutes mais sur le fil. Admettre le lemme préalable au besoin.'

Une version telle qu'elle pourrait être présentée à l'oral. Certains points peuvent être admis pour faire rentrer dans le quart d'heure. Il est bon de noter qu'une récurrence n'est pas nécessaire pour prouver le caractère contractant, cela économise du temps et de l'énergie.'

Il est bon de savoir discuter du cas dégénéré $t=0$ selon le degré de la fraction.'

Une première partie classique sur les critères de convergence. Une deuxième partie qui se veut \"originale\" en se centrant sur le contrôle du reste et l'étude asymptotique. Une petite troisième partie sur les séries entières contenant le strict nécessaire pour amener au développement des théorèmes abélien et taubérien faible. Préparée en oral blanc. Contactez-moi pour les erreurs.'

Leçon assez chargée, qui pourrait l'être encore plus d'un point de vue de l'algèbre. J'ai fait le choix d'une approche par les résolutions algorithmiques : méthodes directes et itératives. La première partie algébrique est cependant nécessaire, notamment pour décrire l'espace des solutions. Elle pourrait être plus fournie en contrepartie d'une réduction des parties suivantes plus analytiques (surtout la dernière). Il faut être capable de comparer entre elles les méthodes de résolution présentées et de donner leurs avantages et inconvénients les unes par rapport aux autres. Le Ciarlet est excellent sur les méthodes numériques et contient des exemples très illustratifs de la théorie et constitue également la source de mes développements. N'importe quel tout-en-un de sup devrait faire l'affaire pour les aspects algébriques. Préparée en oral blanc, contactez-moi pour les erreurs. 1.Systèmes linéaires 1.1.Systèmes échelonnés 1.2.Existence et unicité des solutions 2.Méthodes directes 2.1.Approche naïve 2.2.Pivot de Gauss 2.3.Du rôle du pivot [DEV1 : LU + Cholesky] 3.Méthodes itératives 3.1.Analyse matricielle 3.1.1.Rayon spectral 3.1.2.Conditionnement 3.2.Méthodes de Jacobi, Gauss-Seidel et relaxation [DEV2 : Ostrowski-Reich]'

On pourrait en mettre plus mais je n'avais plus de place. Tout est dans Lelong-Ferrand--Arnaudiès sauf le lemme de Morse dans Gourdon et les générateurs du groupe orthogonal dans Perrin. Plan 1. Formes bilinéaires, formes quadratiques 1.1. Généralités 1.2. Formes quadratiques 2. Orthogonalité 3. Classifications 3.1. Classification sur $\mathbf{C}$ 3.2. Classification sur $\mathbf{R}$ 3.3. Réduction de Gauß [DEV1 : lemme de Morse] 4. Le groupe orthogonal euclidien [DEV2 : générateurs]'

Dur 1. Calcul différentiel 1.1. Difféomorphismes 1.2. Inversion locale 1.3. Fonctions implicites 2. Variétés différentielles 2.1. Sous-variétés 2.2. Espace tangent 2.3. Extremas'