Retours d'oraux : Option B

Sujet du texte choisi : B88 - EDO, EDP, schéma numérique

Sujet de l'autre texte : B50 - Optimisation convexe

Un petit résumé du texte : Étude de la dynamique des populations en milieu limité à l’aide d’une équation logistique, avec et sans seuil, en reprenant presque mot pour mot le Berthelin, puis avec une EDP de type équation de la chaleur pour modéliser la dynamique des populations qui sont mobile au cours du temps. Clairement, c’est un texte de rêve pour l’option B.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) <b>I) Introduction</b> J'ai expliqué pourquoi et comment on trouve l'edo $p' = p(1-\frac{p}{k})$ et la capacité biotique (coefficient k de l'edo) du problème par une étude des flux (PFD), j'ai essayé de parler très brièvement de l'histoire des maths avec le modèle de Verhulst proposé en 1845, le jury était content. <b>II) Étude du modèle en milieu limité</b> Ensuite, j'ai démontré les propriétés fondamentales de cette EDO : existence, unicité et comportement asymptotique en fonction de la population initiale. J'ai également représenté graphiquement les différentes solutions pour les cas où $p_0 < k$ et $p_0 > k$, et j'ai présenté le champ de vecteurs de l'équation. Enfin, j'ai comparé les résultats obtenus par l'utilisation des fonctions odeint et de la méthode d'Euler explicite. <b>III) Modélisation du modèle lorsque la population est mobile au cours du temps</b> J'ai présenté leur méthode de différence finie semi-implicite pour résoudre $\partial_t u = \partial^2_{xx}u+f(u)$, où $f(u) = ru(1-u)(u-\theta)$, $\theta$ est un seuil, le temps d'introduire mes notations etc., et pendant la préparation je n'ai pas eu le temps de finir mon programme donc pas grand-chose à dire. Je suis plutôt déçu ici : je n'ai pas eu le temps de démontrer le lemme $AU \geq 0$ entraîne $U \geq 0$, où $A$ est la matrice du schéma semi-implicite. <b>IV) Conclusion</b>

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Ma gestion du temps, 35 min c'est long quand on a rien dire, et au contraire quand on en a trop dire c'est très très rapide... Je suis satisfait de mon plan et du sujet. Les choix des résultats était cohérent avec mon niveau, je n'ai pas essayé d'en faire trop, juste ce que je savais faire.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Trois hommes, une femme. Un très silencieux qui m'a aidé pour mon code, un très gentil qui faisait des blagues, la dame était comment dire... Un peu froide et me posait des questions, si je n'avais pas la réponse au tac o tac elle noté sur son cahier en m'ignorant et heureusement que ces collègues rebondissait pour m'aider ! Le dernier je n'ai pas entendu sa voix.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation La chaleur dans la salle de préparation, mais bon c'est le jeu en pleine canicule, et le manque de temps, pendant mes oraux blanc je ne tenais jamais les 35min à peine 30min... alors que le jour J j'ai du écourter ce que j'avais préparer car a 33min je n'avais pas fini et il fallait conclure.

Sujet du texte choisi : Sujet 1 : EDO et EDP

Sujet de l'autre texte : Sujet 2 : Méthode itérative et analyse matricielle

Un petit résumé du texte : On modélise la congestion d'un trafic automobile en s'intéressant à la densité et à la vitesse des voitures sur une route. En première partie en modélise ça avec un système de d'EDO avec une partie implémentation numérique. Puis on fait varier le modèle pour obtenir une EDP de transport, avec une partie équation des caractéristiques

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Mon plan (qui couvre environ 70% du texte) : 1) Contexte 2) Modélisation par les EDO 3) Approche numérique 4) Modélisation par les EDP 5) Méthode des caractéristiques J'ai codé un Euler explicite, j'ai fais un dessin et quelques preuves du texte

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Jury 1 : Homme qui parlait fort et confirmait mes réponses par oui ou d'accord, très sympa Jury 2 : Homme qui m'a rappelé l'organisation de l'oral, ses questions (euler explicite, erreur de convergence) étaient prévisibles, peu expressif Jury 3 : Homme souriant qui a posé peu de questions (mais très intéressantes) et qui était très content de mes réponses Jury 4 : Homme gentil qui a posé peu de question (qui étaient peu intéressantes, et faciles)

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation Tous ces jury étaient très sympa, avec des questions assez diversifiées. J'ai adoré cette journée de modé alors que j'avais beaucoup d'appréhension. J'avais misé toutes mes révisions sur les EDO et EDP (pari gagnant) mais j'avais très peur de tomber sur un texte en rapport avec de la physique ou de la chimie (j'en ai jamais fait). J'ai eu une chance inouïe de tomber sur EDO et EDP avec des voitures.

Sujet du texte choisi : B44 : Sur des EDO autonomes, un problème d'optimisation et des EDP avec discrétisation.

Sujet de l'autre texte : B84 : Sur de l'algèbre linéaire amenant sur des équations différentielles.

Un petit résumé du texte : On étudie l'action de la chimiothérapie sur les cellules cancérigènes qui sont de deux type : sensibles au traitement et résistantes au traitement. De plus, les cellules sensibles inhibent la prolifération des cellules résistantes. Dans un premier temps, on étudie une expérience où l'on laisse se développer les deux types de cellules dans une boite de pétri et l'on administre une certaine quantité de traitement. On s'intéresse à l'évolution des concentrations en cellules sensibles $s$ et en cellules résistantes $r$ en fonction du temps, suivant deux paramètres : $C$ la concentration en traitement chimiothérapique et $\beta$ décrivant la capacité des cellules sensibles à inhiber le développement des cellules résistantes. On est donc ramené au système différentiel suivant : \[ (E) : \begin{cases} s'= s(1-C-(s+r)) \\ r' = r(1-(\beta+1)s-r) \\ s(0)=s_0, r(0)= r_0, \text{ avec $s_0\geq 0, r_0\geq 0, s_0+r_0\leq 1$ } \end{cases} \] La suite du texte nous invite à montrer que ce système admet un unique couple de solutions définies sur $[0,+\infty[$ et telles que $s\geq 0, r\geq 0$ et $s+r\leq 1$ puis à étudier les états stationnaires de ce système et leur stabilité, en donnant en figure les champs de vecteurs des cas où $\beta=1$ et $C=0$, $C=0,2$ et $C=0,8$. On est ensuite amené à s'intéresser à la concentration idéale pour que la concentration en cellules résistantes reste minimale, tout en conservant une concentration moyenne des cellules stable. Le texte pose alors deux fonctions de $C$ : $f(C) = \dfrac{r_C(T)}{r_C(T)+ s_C(T)}$ et $g(C) = \dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T (s_C(t)+ r_C(t))\, \mathrm{d} t$, où $s_C,r_C$ sont les solutions de $(E)$. En considérant $m\geq 0$ dans l'image de $g$, le texte nous invite à étudier le problème de minimisation : $\displaystyle\min_{g(C)=m} f(C)$. Enfin, on étudie cette fois la propagation des deux types de cellules dans le corps humain. Leur repartition s'étudie donc également dans l'espace et les fonctions $s$ et $r$ deviennent fonction du temps et de l'espace, ce qui se modélise par un sytème d'EDP, que le texte nous invite à étudier ensuite via une discrétisation. (Je n'ai pas du tout traité cette partie du texte donc je ne m'en souviens que dans les très grandes lignes)

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Plan proposé pour l'exposé I. Un modèle proie-prédateur Explication du modèle qui conduit au système $(E)$ II. Etude qualitative des solutions de (E) Application du théorème de Cauchy-Lipschitz, démonstration que les solutions sont positives, leur somme est majorée par 1 et qu'elles sont définies sur $\mathbb{R}_+$ en appliquant le théorème d'explosion en temps fini. III. Etude des équilibres du système Etude numérique via le tracé des champs de vecteurs (avec streamplot) pour différentes valeurs de $C$ puis tracé de différentes solutions (déterminées via un Euler explicite) selon des conditions initiales différentes pour voir le comportement asymptotique des solutions en fonction de la valeur de $C$ et des conditions initiales. Calcul des équilibres du système (recherche des points où le champ de vecteurs s'annule), cas particulier où $\beta =1$ correspondant aux études numériques proposées, conjecture quant à la stabilité où non via les résultats numériques. IV. Optimisation de la concentration du traitement Présentation du problème d'optimisation. Résolution dans le cas simplifié (proposé par le texte) où l'on a une unique équation $y' = y(1-C-y)$ qui est une équation logistique que l'on peut résoudre explicitement, ce qui permet d'obtenir une expression explicite des fonctions $f$ et $g$.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Au final, je n'ai traité que moins de la moitié du texte et les 3 permiers items des pistes proposées pour l'exposé (le premier étant d'étudier la pertinence du modèle), avec une seule vraie démonstration à la clé (application de CL + étude qualitative des solutions). Cela m'a néanmoins permis de largement tenir les 35min, en prenant peut-être un peu trop de temps pour présenter le modèle au début mais étant donné qu'il faut partir du principe que le jury ne connait pas le texte, je pense que la longue présentation du texte et de la problématique a pu être appréciée. Je suis content d'avoir pu au moins tracer des champs de vecteurs et programmer de nombreux schémas d'Euler explicite pour calculer différentes solutions du système différentiel, ce qui m'a permis d'avoir un certain contenu numérique à proposer. J'ai su répondre aux questions de cours de base mais j'ai vite été dépassé dès que le niveau s'est élevé ou dans certaines de mes preuves où je n'étais pas toujours très précis. Je savais que la modélisation n'était pas mon point fort et que je n'avais qu'une maitrise basique du programme d'option B, mais je pense avoir pu quand même faire montre des compétences de base dont je dispose. En terme d'améliorations, je dirais : maitriser d'avantage le programme de l'option B pour etre capable de répondre à plus de questions et de traiter d'avantage d'éléments du texte (j'ai été de suite bloqué lorsque le texte partait sur de l'optimisation ou des EDP). La gestion du temps lors de la préparation aurait également pu être meilleure : on pense avoir beaucoup de temps en 4h mais cela peut vite nous donner l'impression que l'on peut s'y mettre lentement alors qu'au final, le temps passe assez vite.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury était dans l'ensemble neutre mais tentait de m'aiguiller un peu lorsque j'étais perdu ou me demandait de préciser mes explications lorsqu'il ne les jugeait pas assez claires. Un membre du jury toutefois, au demeurant très sympathique, posait des questions assez incompréhensibles et qui me faisaient un peu perdre le fil de l'oral. J'ai l'impression que lui-même ne comprenait pas trop où il voulait en venir.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation Comme dit plus haut, les 4h de préparation donnent une fausse impression de \"on a le temps\". En réalité, il ne vaut mieux pas trainer au début, histoire de ne pas tryhard et s'exciter sur des codes qui ne marchent pas à 30min de la fin. Sinon, la préparation s'est passée comme prévu, à part qu'il faisait très chaud, plus encore que lors des préparations de leçon à cause des PC qui chauffaient la salle. Par ailleurs, c'était mon 3e jour d'oral donc la fatigue commençait à être extrême, ce qui m'a empêché d'être efficace sur une partie des 4h. Au vu de ma note, je pense que c'est effectivement une bonne stratégie de ne traiter qu'une petite partie du texte mais en le faisant bien, en montrant qu'on est au point sur les théorèmes de base, leurs hypothèses et leur application et en ayant quelques schémas numériques basiques mais fonctionnels à proposer.

Sujet du texte choisi : Système dynamique et EDO

Sujet de l'autre texte :

Un petit résumé du texte :

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) PLAN: I) Modélisation du problème dynamique A) Modélisation simplifié du problème B) Preuve du Thm 1 de l'énoncé II) Schéma numérique A) B) Problème de code pour numériser une matrice III) (Sauver les meubles) Schéma d'Euler explicite A) Le schéma d'Euler explicite à un pas B) Notion de consistance et stabilité => CV

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Tout

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Très bienveillant

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation Non

Sujet du texte choisi : \"EDO, EDP, physique quantique vs physique classique\" (je ne me souviens plus de l'intitulé exact mais les mots clefs sont là).

Sujet de l'autre texte : Je n'ai aucune idée de quel était l'autre sujet, simplement je sais que c'était sur de l'optimisation et de la convexité.

Un petit résumé du texte : Le but est de comparer dans un cas très simple deux modèles distincts décrivants tous deux la position d'une particule de masse m>0 se déplaçant sur une droite (1D). Le premier modèle provient de la physique classique (EDO) et le second de la physique quantique (EDP). Si je me souviens bien, la quantité de mouvement dérive d'un potentiel V supposé positif et de classe $ C^{2} $. On notait q la fonction position et p la fonction quantité de mouvement toutes deux de la variable de temps t. (Un peu abusé la notation, même un des membres du jury a eu un doute à un moment). Le système étudié dans le modèle classique était : $ \begin{cases} q'(t)=\frac{p(t)}{m} . \\ p'(t)=-V'(q(t)) \end{cases} $ En revanche pour le modèle quantique je ne m'en souviens plus du tout ne l'ayant pas traité. Le texte présentait plusieurs théorèmes et voici ceux dont je me souviens (il y en avait plein d'autres mais j'ai tellement peu compris le texte que j'ai eu le temps de traiter que ceux-ci. Je précise aussi qu'il peut il y avoir des erreurs n'étant pas bon sur le sujet...) : 1) Le système admet, pour toute donnée initiale ($q_{0},p_{0}$), une unique solution maximale qui est globale. De plus une intégrale première est donnée par $H : (x,y)\mapsto \frac{y^{2}}{m}+2.V(x)$. 2) Il existe une valeur $H_{0}$ tel que si $H(q_{0},p_{0})>H_{0}$ alors $H(q(t),p(t)) \xrightarrow [ t \to +\infty]{} +\infty$ et si $H(q_{0},p_{0})$ $<$ $H_{0}$ alors $H(q(t),p(t)) \xrightarrow [ t \to +\infty]{} -\infty$. Le texte proposait aussi un schéma explicite à sorte de demi pas de temps mais je n'ai pas su le reconnaitre et je ne saurait pas du tout le retranscrire. C'est un maigre retour je m'en excuse.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Tout d'abord nous entrons dans une salle info avec des ordis fixes. Les appariteurs passent dans les rangs et vous tirez dans un tas de feuilles votre sujet. Sur la feuille sont écrits vos identifiants de connexion et lorsque vous les entrez vous avez accès à vos deux sujets numériques et des livres en version numérique également. Seulement au bout d'une heure vous aurez aussi accès à la version papier de votre texte. Une clef USB est sur votre ordinateur et fait en sorte que lors du passage devant le jury, vous ayez accès (grâce à vos identifiants) à votre code. Mon plan était extrêmement simple et j'ai fait une chose qu'il ne faut normalement pas faire : J'ai paraphrasé le texte pour le présenter ( je n'avais quasiment rien fait à part du code durant la préparation et je n'ai pas réussi à modéliser le problème donc compliqué de faire autre chose que de paraphraser le texte) donc voici mon \"plan\" : I) Présentation du problème II) Le modèle classique et le modèle quantique (preuve thm 1) et code) A la fin de l'oral j'ai fait un retour sur le modèle classique (Je n'ai fait que présenter le quantique sans rien ajouter du texte pour combler le temps) où j'ai pu mettre en évidence le thm 2) sur les courbes. (j'ai duré pile 35min) Ce que j'ai fait au final durant la préparation : J'ai réussi à démontrer rigoureusement le théorème 1) et j'ai pu faire du code : D'abord j'ai naïvement testé un Euler explicite avec des données initiales \"au hasard\" et un V \"au hasard\", à savoir la fonction carré ( qui est bien positive et de classe $C^{2}$ ). J'ai alors réalisé le code puis tracé la position en fonction du temps et j'ai aussi réalisé un portrait de phase. Puisque le texte proposait un V particulier (je m'en suis rendu compte bien plus tard puisque c'était à la toute fin du texte) j'ai alors décidé de suivre le texte et de coder leur schéma avec le V proposé (c'était une fonction polynomiale de degré 6 sur un intervalle compact et nulle en dehors) et j'ai refait la même chose avec ces nouveaux outils. J'ai ensuite re-réalisé un Euler explicite pour comparer ( je ne savais pas quoi faire d'autre de toutes façons...). Au final j'avais tout de même plusieurs pages de codes qui fonctionnaient complètement.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Je pense qu'il est important de dire tout ce que l'on a essayé de faire durant la préparation, même si l'on a pas réussi à finir. Le jury peut décider de vous guider pour réussir et vous pouvez finalement récupérer des points (même si cela n'a pas été mon cas ce jour ci). Je pense que je n'aurais rien pu faire de mieux, les conditions ne m'ont pas trop aidé (Jury peu aidant et chaleur extrême). J'aurais simplement dû mieux me préparer durant l'année ( en physique par exemple et surtout sur la convergence des schéma numériques ).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Quasiment un seul des 4 membres du jury m'a parlé et il insistait beaucoup alors qu'il était clair que je ne comprenais vraiment pas et qu'il fallait passer à autre chose. Un des membres faisait la tête et regardait très mal mon code, il n'a pour autant pas laché un mot de l'oral. Une des membre m'a posé une seule question et semblait satisfaite mais pas non plus souriante. Le dernier membre avait l'air sympa mais n'a pratiquement rien dit et au final c'est celui qui m'a fait la remarque sur l'application du thm de Cauchy-Lipschitz local donc je n'ai pas compris ce qu'il pensait réellement. Je n'ai vraiment pas aimé ce jury ( le seul sur les 3 qui n'a, pour moi été que très peu bienveillant ).

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation Sur le moment, comme je l'ai déjà dit, j'ai très très mal vécu cet oral et me suis senti très mal durant toute l'épreuve. Donc je suis très surpris par ma note (je pensais avoir moins de 5). Corollaire : rien n'est jamais perdu, même si vous pensez avoir raté, continuez à tout donner et vous serez certainement surpris.

Sujet du texte choisi : B91 : Équation différentielles, équation aux dérivées partielles, schéma aux différences finies

Sujet de l'autre texte : B61 : Analyse de Hilbert, traitement du signal, optimisation

Un petit résumé du texte : Le sujet traitait d'un sujet très classique sur l'évolution d'une population. Plusieurs modèles étaient proposés. D'abord uniquement en temps de la forme $p'(t)=rp(t)$ puis $p'(t)=rp(t)\left(1-\frac{p(t)}{k}\right)$ et enfin $n'(t)=n(t)(n(t)-\theta)(1-n(t))$. Les deux premières parties étaient uniquement consacrées à ces EDOs. Le texte incitait à faire une étude qualitative des équations : bornes, points limites, existence, unicité, maximalité, monotonie. Il fallait mobiliser les outils classiques : Cauchy-Lipshitz, Stabilité, Théorème des bouts, Lyapounov, ... La troisième et dernière partie proposait un modèle spatial et temporel sur un cercle $[-L,L]$ et sur une période $[0,T]$ : $\partial_tu=\partial_x^2u+f(u)$ où $f(u)=u(u-\theta)(1-u)$. Les conditions limites étaient $u(x,0)=u_0(x)$ et $u(-L,t)=u(L,t)$. Un schéma aux différences finies classique était proposé. Il se réécrivait $AU^{j+1}=U^j+F^j$. Le texte suggérait plusieurs résultat : $A$ est symétrique définie positive, $AU\geq 0\Rightarrow U\geq 0$. Quelques résultats étaient explicitement présentés comme admis ou trop difficiles. Je ne me souviens pas de toute la fin. Il était question d'étudier des conditions sur $\theta$ par rapport à $u_0$ pour avoir une extinction de la population.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Plan pas très original, proche du texte : 1. Problème 2. Modèle spatial (je voulais écrire temporel mais j'ai écris spatial au tableau) 2.1. Étude théorique 2.2. Étude numérique 3. Modèle spatio-temporel 3.1. Étude théorique 3.2. Étude numérique Ce que j'ai fait, pas dans l'ordre de ma préparation mais celui de ma présentation : J'ai pu mener l'étude qualitative complète des deuxième et troisième EDO (la première aussi mais très rapidement). C'était assez long, beaucoup de cas à traiter, bien se souvenir comment mobiliser les bons théorèmes au bon moment. À la fin de l'étude théorique de chaque EDO, j'ai présenté mes simulation numériques pour confirmer l'étude qualitative. Les deux premières étaient résolues par Euler explicite comme le suggérait le document. La troisième par une routine Python. Pour la dernière partie, j'ai implémenté le schéma indiqué et démontré seulement la propriété $Au\geq 0\Rightarrow u\geq 0$. J'ai fourni les illustrations numériques et j'ai tout de même pu illustrer le rôle du paramètre $\theta$ dans l'extinction. L'étude de convergence était explicitement marquée comme difficile et admise. Le tout m'a pris 30 minutes sur les 35 au bout desquelles j'ai laissé la main au jury.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Le temps était bien géré. Quand je m'entendais parler j'avais l'impression de m'embourber dans mes propres arguments mais le jury a dit que mon étude qualitative était \"très détaillée\". J'ai trouvé dommage de ne pas avoir su démontrer seul la positivité de la matrice. Je ne regrette rien sur la présentation, ce qui aurait pu être fait en plus était de toute façon hors de portée pour moi. Sur les questions, comme souvent j'ai trouvé que je manquais de vivacité. Pour autant j'essayais de ne pas lâcher la parole quand on me la donnait, quitte à dire des banalités sur la question posée.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Jury très accueillant et bienveillant. Ne me laissait pas sécher. J'étais étonné d'avoir quatre membres en face de moi. Une personne semblait axée sur la programmation pure, plus que les autres.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation

Sujet du texte choisi : Je profite simplement de cette possibilité de faire un retour pour partager un site extrêmement bien fait de l'université de Strasbourg: https://feelpp.github.io/cours-tan/cours-tan/chap1/index.html Il couvre une très grande partie du programme de l'option B et contient entre autres les codes python utiles. Je le recommande vivement à tous les candidat(e)s et en particulier aux candidats libres qui n'ont pas la chance d'avoir des TD de modélisation !

Sujet de l'autre texte :

Un petit résumé du texte :

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation

Sujet du texte choisi : B76 : Différences finies, optimisation, algèbre linéaire.

Sujet de l'autre texte : B91 : Analyse qualitative d'équations différentielles, algèbre linéaire, je sais plus les autres mots-clefs.

Un petit résumé du texte : 1. Introduction On attache un élastique unidimensionnel à ses deux extrémités, et on introduit un repère orthonormé de sorte à ce que l'élastique soit attaché aux points $(0,0)$ et $(1,0)$ de ce repère. On fait ensuite tendre cet élastique au-dessus d'un obstacle. L'élastique est représenté par le graphe d'une fonction $u$ définie sur $[0,1]$, et l'obstacle est représenté par le graphe d'une fonction $v$. Le but est donc de connaître la fonction $u$ pour pouvoir connaître la forme que va prendre l'élastique. On fait alors l'hypothèse que la déformation subie par l'élastique est faible, de sorte que l'énergie de déformation stockée par l'élastique dans une section élémentaire entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$ puisse être donnée par la loi de Hooke : \[ E_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2}k\left(e-\ell\right)^2 \] où $e$ est l'étirement local de l'élastique et $\ell$ la longueur au repos de l'élastique. On a alors : \[ E_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2}k\mathrm{d}x\left(\sqrt{1+u'(x)^2}-\ell\right)^2. \] L'énergie stockée dans l'élastique devant être minimale, on a alors que la fonction $u$ vérifie le problème d'optimisation suivant : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^1 \left(\frac{1}{2}k\left(\sqrt{1+u'(x)^2}-\ell\right)^2\right)\mathrm{d}x& = & \displaystyle \min_{w} \int_0^1 \left(\frac{1}{2}k\left(\sqrt{1+w'(x)^2}-\ell\right)^2\right)\mathrm{d}x \\ u(0) = u(1) = 0 & \text{et} & u \geqslant v. \end{array} \right. \] En supposant que $u'$ est petit devant les différences de longueur en jeu, on a alors, en première approximation, que $u$ vérifie le problème d'optimisation suivant : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^1 u'(x)^2\mathrm{d}x& = & \displaystyle \min_{w} \frac{1}{2}\int_0^1 w'(x)^2\mathrm{d}x \\ u(0) = u(1) = 0 & \text{et} & u \geqslant v. \end{array} \right. \] On a alors que ce problème admet une unique solution (le sujet ne précisait pas l'espace fonctionnel adapté pour $u$ ! J'ai pu donc parler de $H^1_0(0,1)$ sans que ce ne soit explicitement indiqué dans le texte). 2. Discrétisation du problème La solution $u$ n'étant pas explicite en général, on essaie d'approcher la solution $u$ en discrétisant le problème. On fixe alors une subdivision régulière $0 = x_0 < x_1 < \ldots < x_N < x_{N+1} = 1$ de l'intervalle $[0,1]$ et on essaie de résoudre le problème discrétisé suivant : \[ \text{Trouver} \quad U^* \in\mathbb{R}^N \quad \text{tel que} \quad J_N\left(U^*\right) = \min_{\substack{U \in \mathbb{R}^N \\ U \geqslant V}}J_N(U) \] où $V \in \mathbb{R}^N$ est le vecteur $\left(v(x_i)\right)_{i \in [\![1,N]\!]}$ et où $J_N$ est la fonctionnelle suivante, définie sur $\mathbb{R}^N$ : \[ \begin{array}{ccrcl} J_N & : & \mathbb{R}^N & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & & U & \longmapsto & \displaystyle \frac{1}{2}\langle AU\vert U \rangle \end{array} \] où $A \in \mathcal{M}_N(\mathbb{R})$ désigne la matrice du laplacien. On montre alors qu'il existe une unique solution à ce problème d'optimisation, qui vérifie quelques propriétés, en accord avec l'intuition : \[ \forall i \in [\![1,N]\!], \quad U^*_i \geqslant \frac{U^*_{i+1}+U^*_{i-1}}{2} \] avec égalité si $U^*_i > V_i$. 3. Méthodes de résolution approchée du problème d'optimisation discrétisé On propose deux méthodes de résolution approchée de ce problème d'optimisation. La première est une méthode de gradient à pas constant avec projection : on note : \[ K_N := \left\{U \in \mathbb{R}^N \text{ }\left \vert \text{ } U \geqslant V\right.\right\} \] et on considère : \[ \begin{array}{ccrcl} \pi & : & \mathbb{R}^N & \longrightarrow & K_N \\ & & U & \longmapsto & \max(U,V) := \left(\max(U_i,V_i)\right)_{1 \leqslant i \leqslant N} \end{array} \] la projection sur le convexe fermé $K_N$. On considère alors la suite suivante, définie par récurrence : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} U^0 & \in & K_N \\ U^{k+1} & = & \pi\left(U^k-\rho AU^k\right) \end{array} \right. \] où $\rho > 0$ est fixé. On montre alors que si $\displaystyle\rho < \frac{2}{\lambda_{\mathrm{max}}}$, où $\lambda_{\mathrm{max}}$ désigne la plus grande valeur propre de la matrice du laplacien $A$, alors la suite $(U^k)$ converge vers $U^*$. La deuxième méthode est une méthode de pénalisation. Il convient donc de réexpliquer le principe de cette méthode : on fixe un petit paramètre $\eta > 0$ destiné à tendre vers $0$ et, au lieu de résoudre le problème d'optimisation discret avec contrainte, on résout le problème d'optimisation sans contrainte suivant : \[ \text{Trouver} \quad U^{*,\eta} \in \mathbb{R}^N \quad \text{tel que} \quad J_{N,\eta}\left(U^{*,\eta}\right) = \min_{U \in \mathbb{R}^N} J_{N,\eta}(U) \] où $J_{N,\eta}$ est la fonctionnelle suivante, définie sur $\mathbb{R}^N$ : \[ \begin{array}{ccrcl} J_{N,\eta} & : & \mathbb{R}^N & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & & U & \longmapsto & \displaystyle \frac{1}{2}\langle AU \vert U \rangle + \frac{1}{\eta}\sum_{i = 1}^n\max(V_i-U_i,0)^2. \end{array} \] On montre que ce problème admet une unique solution pour tout $\eta > 0$ et que $U^{*,\eta} \xrightarrow[\eta \to 0^+]{}U^*$. On approche alors $U^{*,\eta}$, pour $\eta$ petit, par une méthode de gradient à pas constant : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} U^0 & \in & \mathbb{R}^N \\ U^{k+1} & = & \displaystyle U^k - \rho\left(AU^k - \frac{2}{\eta}\max(V-U^k,0)\right) \end{array} \right. \] On montre alors que, sous réserve que $\displaystyle \rho < \frac{2\eta}{2+\eta\lambda_{\mathrm{max}}}$ (je crois), la suite $(U^k)$ converge vers $U^{*,\eta}$.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Plan choisi : Titre : Comment anticiper la déformation d'une structure élastique soumise à un obstacle I- Présentation du problème 1. Le modèle élastique 2. Linéarisation du problème 3. Discrétisation et propriétés de la solution discrète II- Présentation des méthodes de résolution approchées (*) 1. La méthode avec projection 2. La méthode avec pénalisation III- Comparaison de la convergence des méthodes (*) 1. Convergence de la méthode avec projection 2. Convergence de la méthode avec pénalisation (les étoiles correspondent aux parties dans lesquelles j'avais prévu d'ajouter des illustrations numériques) Je suis content car j'ai pu traiter tout le texte pendant ma préparation, et donc j'ai pu organiser mon plan de sorte à montrer les résultats pertinents, notamment la stricte convexité des fonctions, qui permettent de justifier l'existence et l'unicité des solutions aux problèmes d'optimisation, et la convergence des méthodes de gradient. Mes simulations marchaient bien également (j'ai pu reproduire les figures du texte) ! J'ai pu également tracer des courbes de convergence pour comparer les méthodes, j'avais donc du contenu dont j'étais fier.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) J'aurais pu utiliser différentes couleurs de craies pour mes dessins et numéroter les résultats importants et les problèmes d'optimisation au tableau, mais sinon je trouvais que tout roulait à cet oral. J'aurais peut-être également pu dire plus à l'avance quand j'allais montrer mes simulations numériques. Je me rends compte également que j'ai noté au tableau uniquement les grandes parties et pas les sous-parties, par peur de manquer de place ou de temps.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury était très dynamique, l'échange était rythmé et ils mettaient très à l'aise et n'hésitaient pas à dire quand les choses étaient bien.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation Tout s'est passé comme prévu.

Sujet du texte choisi : B34 (équations aux dérivées partielles, algèbre linéaire, optimisation)

Sujet de l'autre texte : B46 (trafic routier, équation de transport, méthode des caractéristiques)

Un petit résumé du texte : On souhaite résoudre un problème inverse pour l'équation des ondes : étant donnée l'allure d'une solution pour des conditions initiales fixées, on cherche à retrouver l'allure du terme source (ce texte était déjà proposé en 2022, il y a d'ailleurs un retour dessus). Le texte était composé de deux parties : la première concernait la résolution directe de l'équation des ondes avec une source périodique en utilisant la méthode des séries de Fourier, la seconde concernait l'étude du problème inverse (il y avait des histoires de moindre carrés, de la décomposition en valeurs singulières, et des questions de variation des valeurs propres, qui dépend du conditionnement de la matrice considérée).

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Je me suis concentré exclusivement sur le problème direct (la première partie du texte, donc). Mon plan était le suivant : I. Corde vibrante et équation des ondes II. Résolution par la méthode des séries de Fourier III. Solution approchée par les différences finies Dans la première partie, j'ai fait exclusivement de la physique : j'ai choisi de réétablir proprement l'équation des ondes sans second membre pour une corde vibrante, de densité linéique μ. Pour cela, j'ai appliqué le PFD à un petit élément de corde entre x et x+dx, sous des hypothèses physiques \"classiques\". J'ai consacré la seconde partie à la résolution explicite de l'équation des ondes par la méthode des séries de Fourier : il s'agissait pour cela de résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre 2 avec second membre vérifiées par les coefficients de Fourier de la solution, ce que j'ai fait avec la méthode de variation de la constante. J'ai tenté de tracer les solutions de l'équation en faisant une FFT, mon code n'a pas abouti, mais je l'ai quand même montré au jury. Enfin, j'ai détaillé une discrétisation du problème par la méthode des différences finies : on se ramène alors à résoudre un système linéaire. J'ai justifié l'inversibilité de la matrice du système sous des hypothèses physiques raisonnables, et j'ai pu tracer une solution à différents instants grâce à cette méthode (mes courbes étaient un peu malades, mais on voyait globalement une corde vibrante).

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) - Le stress m'a un peu paralysé sur des choses normalement faciles : je les ai faites, mais pas aussi bien que je l'aurais souhaité. - Je regrette de ne pas avoir mieux tenu mon tableau : ce n'était pas le bazar pour autant, mais j'aurais dû mieux structurer (écrire Proposition, Preuve...).

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury, composé de quatre personnes, était plutôt neutre, mais pas froid pour autant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation - Le tableau était vraiment petit, j'ai dû demander deux fois la permission d'effacer... C'était un tableau à craie un peu usé. - J'ai trouvé le texte difficile à comprendre dans l'ensemble (mais l'autre était pire selon moi). Même si je voulais le faire, je n'ai pas eu la possibilité de mettre en œuvre les connaissances que j'avais acquises durant l'année, et je n'ai traité qu'une toute petite partie du texte, à mon grand regret. J'ai ainsi été très agréablement surpris par ma note.

Sujet du texte choisi : Optimisation et algèbre linéaire

Sujet de l'autre texte : Equations aux dérivées partielles

Un petit résumé du texte : Un problème de minimisation de fonctionnelle fait sous différents point de vu , moindres carrés, système linéaire, algorithme de gradient. La fin inaccessible comme d'habitude.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Plan présentation 1 introduction 2 simulation numérique 3 algorithme de gradient 4 système linéaire 1 mise en valeur de la fonction à minimiser F 2 code j'explique que j'ai pas réussi a coder le gradient de F mais que j'ai coder l'algorithme qui fonctionne sur un exemple simple Code d'une résolution de système linéaire par cholesky, non exploité 3. Définition d'une direction de descente Explication de la méthode, théorème de convergence 4. Transformation du problème en système linéaire, démonstration d'un lemme. On peut résoudre ces système linéaire numériquement avec des méthodes directe ou iteratives pour des systèmes de grande taille notamment.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) J'étais très fatigué donc je n'ai pas pu mener à bien mes codes et c'est vraiment dommage je pense que j'ai perdu des points la dessus. J'ai mal répondu à certaines questions mais c'était pas dramatiique apparemment..

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Un(e !) jury un peu soulé mais toujours correcte et gentille. Sinon tous très agréable surtout le sourire de Thierry Goudon !!

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation J'étais préparé donc ça allait, surpris par ma note, j'imaginais moins.

Sujet du texte choisi : Différences finies EDP / EDO / Optimisation et algèbre linéaire

Sujet de l'autre texte : Algèbre linéaire

Un petit résumé du texte : Le texte avait pour objectif d'étudier l'équation des ondes avec second membre. Il fallait identifier le second membre de l'équation à partir de la mesure physique de la solution de l'équation.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) 1) Résolution numérique de l’équation des ondes 2) Résolution théorique de l’équation des ondes avec séries de Fourier 3) Impact des hautes fréquences pour retrouver le second membre

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Prendre un livre de physique avec moi pendant la préparation...

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Jury bienveillant, qui ne cherche pas à nous piéger.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation J'ai trouvé les textes très difficiles à comprendre comparé à ma préparation pendant l'année scolaire. J'ai mis beaucoup de temps avant de réussir à obtenir des premiers résultats...

Sujet du texte choisi : Algèbre linéaire. Méthodes itératives. (B32)

Sujet de l'autre texte : Equations différentielles ordinaires. Comportement qualitatives des solutions (B57 je crois)

Un petit résumé du texte : Le texte visait à étudier un peu la notoriété d'une entreprise. On introduisait pour cela, pour un consommateur, son opinion sur l'entreprise, et on suppose que l'opinion d'une personne corresponds à la moyenne de celles de son voisinage, plus un paramètre de publicité provenant de l'entreprise. On en vient alors à résoudre un système linéaire (qui fait notamment intervenir la matrice de discrétisation du laplacien), et le texte proposait d'utiliser une méthode de Jacobi relaxée. Afin d'améliorer la vitesse de convergence de cet algorithme, on procédait à une sorte d'échantillonnage du résidu qui se \"comportait bien\" après quelques itérations de Jacobi.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) J'ai produit un plan en trois parties où je traite intégralement le texte (sauf l'analyse de la convergence du tout dernier algorithme, qui prenait plus d'une page, donc non merci). En terme de code, j'ai rédigé exactement 155 lignes de code sur Python, pour trois programmes indiquant chacun des graphes qu'on voyait déjà dans le texte. J'ai donné mon petit plus par rapport au texte en parlant des méthodes itératives (le texte ne parlait que de la méthode de Jacobi relaxée), et ai montré la convergence indépendamment du texte en calculant le rayon spectral de M-1N.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Le seul point que j'aurais voulu améliorer, c'est ma façon de répondre trop rapidement aux questions. J'ai dis plusieurs bourdes à l'oral sous le coup du stresse, mais me suis néanmoins corrigé seul à chaque fois après que le jury m'ait fait remarquer ce genre de choses. A part ça, je suis très satisfait de ma présentation et de mes codes.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Parmi les 4, il y en avait qu'un seul qui était vraiment actif. Le jury juste à côté participait parfois, et les deux autres étaient totalement silencieux. A part cela ils étaient plutôt sympa, et celui qui parlait le plus était souriant, même s'il faisait des grimaces un peu inquiétantes quand je disais des bourdes.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation J'ai été surpris, mais agréablement. Déjà, la préparation du texte ne dure pas exactement 4h, mais plutôt 3h50, pour pouvoir faire le transfert de fichier et changer de salle. Le transfert de fichier est immédiat, et quand je suis arrivé dans la salle, un des membres du jury s'est occupé lui-même de se connecter sur ma session, pendant qu'un autre m'expliquait les modalités de l'épreuve, ce qui fait que je n'ai pas eu à me battre avec le pc.

Sujet du texte choisi : EDO

Sujet de l'autre texte : Analyse matricielle

Un petit résumé du texte :

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) J'ai refait un graphique qu'il était proposé de faire dans le texte. Pour ma présentation, j'ai tenu les 35mn : j'ai proposé une présentation du sujet, puis j'ai montré que le modèle proposé et l'existence de la solution reposait sur le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire. Ensuite j'ai proposé de démontrer un résultat de convergence d'un schéma d'Euler explicite (celui qui est à la fin du Gourdon d'analyse) : pour cela j'ai dit que je faisais donc l'hypothèse que ma fonction (celle utilisée dans le problème) était de classe C1 parce que c'était ce que demandait les hypothèses de mon théorème.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury était vraiment super gentil malgré mes grosses lacunes en calcul scientifique et je m'attendais plutôt à avoir une note entre 6 et 9 donc très contente de ma note qui ne reflète pourtant pas vraiment mon niveau. (Tout ça pour dire qu'en calcul scientifique faire le minimum suffit pour sauver les meubles) Le jury ne nous emmène pas du tout sur les parties du texte dont on ne parle pas (et tant mieux)

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation

Sujet du texte choisi : EDO: étude qualitative, méthode d'Euler implicite etc.

Sujet de l'autre texte : SVD, newton linéaire et autres horreurs.

Un petit résumé du texte : Etude de l'évolution du volume des poumons (représenté par un ballon) en fonction du temps à l'aide d'EDO.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) - Modélisation pour arriver à une EDO non linéaire - Etude qualitative de l'EDO: Existence et unicité de solutions maximales (il fallait prolonger par symétrie la fonction définissant l'EDO pour passer d'un fermé ($[0,+\infty[$) à un ouvert), globalité des solutions maximales (utilisation du théorème de sortie de tout compact et des propriétés des quantités/ fonctions introduites plus tôt) - Euler implicite: présentation du schéma, remarque sur le fait que le théorème de convergence ne s'applique pas, résolution de l'équation implicite par la méthode de Newton (on vérifie qu'on peut la mettre en place) - Illustration: Graphe de la solution avec Euler implicite et odeint (rien ne fonctionnait)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) J'ai beaucoup hésité sur la présentation de la modélisation, je n'avais pas toutes les quantités et équations introduites bien en tête. Cela m'a fait perdre un peu de temps, ce qui m'a forcé à abréger la fin de ma présentation sur la méthode d'Euler implicite et à ne pas écrire grand chose au tableau ni rentrer dans les détails des preuves.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury a été très bienveillant et patient, aidant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation J'ai été surpris que le temps au début de l'oral pour vérifier l'identité du candidat soit compté dans les 35 minutes de présentation. Heureusement j'ai, en faisant la remarque, bien eu droit à mes 35 minutes de présentation.

Sujet du texte choisi : Une équation type dérivée seconde par rapport au temps moins c^2 fois dérivée seconde par rapport au temps égale f

Sujet de l'autre texte :

Un petit résumé du texte : beaucoup de Fourier dans le texte

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) J'ai produit un programme Python autour de la méthode d'Euler appliquée à X=(u(0),...,u(n),u'(0),...,u'(n)) où u est une approche discrète de la solution. Mon programme fonctionnait, informatiquement parlant, avec illustration Matplotlib mais ne donnait pas le résultat escompté. Je n'ai pas du tout utilisé le texte en fait ni répondu à une seule question.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) J'ai pu peu préparer cet oral, donc ce qui serait améliorable serait de simplement maîtriser mieux le programme.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? très constructif : très carré, mais très aidant.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation

Sujet du texte choisi : Optimisation, EDO, problème de contrôle

Sujet de l'autre texte : Optimisation : c'était un texte sur du débruitage de signal, avec 100% d'optimisation

Un petit résumé du texte : On essayait de trouver une condition pour pouvoir faire tenir un balai en équilibre sur un doigt (un peu nul mais bon ^^) donc on étudiait langle alpha entre l'axe vertical et le balai, et on avait une equadiff α''(t) = cos(α(t)) + u(t)sin(α(t)) Avec u la force appliquée sur le bout du balai quand on essaye de bouger notre doigt (on a ramené le problème en dimension 1, on ne bougeait que sur un axe) Donc on début on essaye de la mettre sous forme Cauchy Lipschitz On se ramène à un truc de la forme x(t) = g(t,x(t)) avec x(t) = (α(t) , α'(t)) Avec f : R^2×R -> R^2 ; (x,u) |-> (x2, cos(x1) + u.sin(x1)) Ensuite on fixe un u pour Cauchy Lipschitz et on a g : R×R^2 -> R^2 ; (t,x) |-> f(x(t),u(t)) Bon tout ça c'est dans le texte, il était vraiment facile à comprendre au début. Ils m'ont demandé une condition pour avoir une solution globale, donc être globalement lipschitzien parce qu'après on regarde la solution sur [0,T]. Ensuite on étudiait le système linearisé (toutes les définitions étaient dans le texte, ya juste à lire attentivement) donc on linearise et on tombe sur un truc X'(t) = AX(t) + Bu(t), A matrice B vecteur Ils demandaient de montrer la formule de la solution explicite de cette équation, donc j'ai traquillement recopié le Demailly. Après on cherchait à savoir si on pouvait trouver une fonction u qui soit solution du problème de cauchy avec X(0) = x0 ET qui vérifie X(T) = 0, parce que l'équilibre en 0 c'est quand on a α(T) = 0 et α'(T) = 0. Donc on a un theoreme qui nous donne une CNS, on vérifie que ça fonctionne dans notre cas, il y a un petit lemme avec la demo, donc je l'ai refaite en essayant de préciser tout ce que je pouvais mais j'ai pas réussi à savoir si je recopiais le texte ou si j'arrivais à ajouter des trucs utiles. Mais bon fallait bien tenir 35 minutes alors... tant pis. Pour cette partie EDO il y avait deux graphiques à faire, donc résoudre l'équation x' = g(t,x(t)). Du coup je me suis pas embêtée, j'ai utilisé ODE et ça a très bien marché. Ensuite la partie optimisation Ils voulaient une fonction u qui permette de trouver une solution au problème de Cauchy avec la condition X(T) = 0. Le théorème nous avait dit que c'était possible. Et ils cherchaient ce u sous la forme d'une fonction constante par morceaux : on decoupait l'intervalle [0,T] en 0 < t1 < t2 < T qui restaient fixés Et on cherchait à optimiser les valeurs u0 u1 et u2 qui etaient la valeur de u sur les intervalles (n'hésitez pas à relire cette phrase plusieurs fois elle est très mal expliquée ^^) Ils faisaient un algorithme de gradient (à pas oprimal il me semble) que je n'ai pas réussi à coder Ensuite pour les questions - ils m'ont demandé de citer des théorèmes d'existence et d'unicité de minimum (ici pas d'extrema liés, on avait pas de contraintes extérieures) - donner un exemple de méthode derrière ode donc Euler implicite ou explicite, les ecrire, définition de la convergence/stabilité

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) J'ai essayé de codé la partie optimisation, mais elle était assez compliquée, et même si le texte n'était pas très dur, je pense que c'était chaud d'essayer de tout faire, donc je me suis plutôt attardé sur les démo de la partie EDO. Et je n'ai pas recodé le schéma d'Euler, mais j'aurai du mieux relire la preuve de la convergence.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury était très gentil, ils ont tous participé à l'oral

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation

Sujet du texte choisi : Équations différentielles ordinaires, schéma d'Euler explicite

Sujet de l'autre texte : Je ne sais plus…

Un petit résumé du texte : Un joueur veut faire tenir un balai en équilibre sur son doigt, et il s'autorise pour cela des mouvements suivant une droite horizontale, modélisés par une fonction u dépendant du temps. Une étude montre que le mouvement angulaire du balai obéit à une équation différentielle du type y' = sin(y)*u. La question est donc de trouver une fonction u qui permette d'emmener le balai à la position verticale avec vitesse nulle, pour atteindre l'équilibre. L'originalité du texte est que l'on veut à la fois résoudre l'équation différentielle et trouver des fonctions y convenables, puis de résoudre les EDo obtenues pour certaines fonctions y particulières. Il y avait une assez grosse partie d'algèbre linéaire, mais je ne l'ai pas examinée.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) — J'ai programmé deux schémas d'Euler explicite pour reproduire des courbes du texte. — J'ai fait la mise en équation du texte et expliqué la spécificité de l'équation obtenue puisque la fonction u intervient comme un paramètre. Je n'ai donc pas appliqué Cauchy-Lipschitz, n'ayant pas une équation de la forme y' = F(t, y), mais plutôt du type y' = f(t, y, u). La subtilité est que u ne dépend que du temps (ce qui fait que Cauchy-Lipschitz s'applique en fait), point sur lequel le jury est revenu. — J'ai démontré un énoncé du texte. C'est assez peu, mais comme j'ai eu des jolies courbes, j'ai préféré en rester là et essayer d'anticiper les questions de jury, et ça a été une bonne stratégie.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) J'aime bien écrire beaucoup de choses au tableau, mais c'est une question de goût : on y gagne en clarté, mais on fait moins de choses… J'aurais pu être plus clairvoyant sur comment appliquer Cauchy-Lipschitz dans ce contexte.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Attitude très positive et agréable : ils m'ont laissé cherché lorsque j'en avais besoin, et m'ont aidé quand je bloquais.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation On ne peut pas écrire sur le texte. Attention, 35 minutes c'est assez court, donc il faut soit écrire peu de choses, soit ne pas prévoir trop. Les questions de jury sont assez classiques et il y a des immanquables (et en fait, le rapport décrit très bien les attendus).

Sujet du texte choisi : B31 - Equations différentielles

Sujet de l'autre texte : B33 - Analyse matricielle

Un petit résumé du texte : On décrit l'évolution du volume d'air dans un poumon étant donné la variation de pression exercée par le corps/les parois sur l'intérieur du poumon.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Plan dont on dit qu'il marche à tous les coups: I-Modélisation du problème, II- Etude théorique III- Etude numérique. Comme j'ai passé du temps à comprendre les équations et que j'étais relativement l'aise, j'ai justifié de manière assez détaillé l'établissement des équations. Dans la partie théorique, j'ai justifié plus ou moins rapidement deux propositions suggérée et j'ai montré une résolution par la méthode d'Euler explicite et une tentative d'Euler implicite.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Penser à une conclusion. De manière générale j'ai l'habitude de faire des présentation assez improvisées. J'ai eu le temps de faire mes trois parties, avec une partie numérique relativement courte. Cela correspond à ce que j'avais à apporter. Lors de la prépa, on m'a reproché de ne pas écrire d'énoncé mathématique du type def, propriété, thm. Dans l'absolu, il faudrait effectivement le faire, mais finalement le fait de dire bcp de choses à l'oral m'a permis d'en dire plus, plus vite.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Heureusement le jury semblait connaître un minimum le texte, ce qui m'a permis de dire un certain nombre de choses à l'oral. Plutôt sympa.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation J'ai très peu utilisé mes notes et j'ai d'ailleurs dit des choses différentes, oublié d'en dire d'autres. C'est la seule épreuve où j'ai terminé dans les temps. Le jury récupère le brouillon, le mien était assez désordonné sur cette épreuve. Notez qu'on a pas le droit de surligner le texte, c'est ce que je fais en générale. Et contrairement à ce que j'avais l'habitude de faire pendant l'année, j'ai choisi assez rapidement ce que j'allais présenter et je n'ai pas vraiment lu la fin du texte. Note décevante...

Sujet du texte choisi : \"Le balai renversé\", B10. les mots clés : EDO, algèbre linéaire et optimisation

Sujet de l'autre texte : Je ne me souviens plus car j'ai vite, ça parlait de cellules et d'adn. Dans les mots clés c'était EDO et étude du problème de Cauchy. Texte B28

Un petit résumé du texte : On tient un balai en équilibre en position verticale sur notre main, on essaie de voir comment bouger notre main pour maintenir cet équilibre. On se retrouve avec une équation différentielle x'(t)= f(t,x(t)) (où la fonction f dépend aussi d'une fonction u, connue à l'avance, correspondant au déplacement de notre main au cours du temps.) On étudie rapidement cette équation différentielle dans le cas où u est la fonction nulle, puis on passe à l'étude du linéarisé du système. Il n'est pas explicitement cité dans le texte, mais je pense que cette étude du cas linéarisé se justifie grâce au thm de Lyapounov. Le texte se termine avec une étude sur un cas où u est une fonction constante par morceaux, puis après en dernier paragraphe ça part sur de l'optimisation mais je ne suis pas arrivé jusque là.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) J'ai produit 3 codes, les 3 étaient presque identiques et modélisaient l'angle entre le manche de notre balai et la verticale au cours du temps : d'abord si on ne bougeait pas notre main, ensuite touujours si on ne bouge pas notre main, la dérivée de la fonction angle en fonction du temps, puis enfin si on bougeait suivant une certaine fonction constante par morceaux, la variation de l'angle. Tous ces codes étaient suggérés dans le texte, ils conseillaient la méthode d'Euler explicite (que j'ai aussi utilisé) et je suis bien tombé sur les mêmes dessins que dans le texte. Au niveau des théorèmes, il y en avait un gros à démontrer et sa preuve se passait en deux étapes : d'abord redémontrer que les solutions d'une équation diff affine du premier ordre s'expriment selon la formule [blablabla], c'est démontré dans le Demailly par exemple donc là il suffisait juste de lire le livre pour savoir comment faire. Ensuite un second lemme dont la démonstration reposait sur des résultats d'algèbre linéaire (Cayley Hamilton et le fait que l'expo de matrice est un polynome en la matrice), mais dont la démonstration était très guidée. J'ai démontré les deux durant la préparatoin, mais à l'oral je n'ai fait que le second lemme par manque de temps. Pour le plan : Il était en 3 parties : I - Présentation du problème, exemple du cas où on ne bouge pas la main (présentation des deux premiers codes) II - Etude du système différentiel linéarisé (comme suggéré dans le texte) (on y démontre le thm) III - Exemple sur un cas moins simple (présentation du troisième code)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Mon oral s'est bien mieux passé que prévu car j'ai été interrogé sur des notions que j'avais revu peu de temps avant. Parmi les choses que j'aurais pu améliorer, c'est sans doute ma présentation de 35 minutes. J'avais un tableau assez vieux sur lequel il était difficile d'écrire lisiblement (la craie ne \"glissait\" pas sur le tableau...), du coup j'ai perdu beaucoup de temps à écrire et j'ai du sélectionner ce que je démontrais. Plutôt que de démontrer le lemme fait dans le Demailly, qui figurait dans le texte mais sans indication sur comment le démontrer, j'ai démontré l'autre lemme sur lequel il y avait beaucoup d'indications dans le texte. Stratégiquement c'était pas optimal je pense. Mais ça n'est pas si grave...

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury était très sympathique, et me mettait bien en confiance. Ils m'ont aidé à corriger une erreur sur Cauchy Lipschitz au tableau. Je trouve que c'est l'oral où le jury est le plus agréable, on sent que la discussion est vraiment une discussion justement, et pas une séance d'exercices où on te laisse patauger plusieurs minutes quand tu ne comprends pas ce qu'on te dit.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation L'oral et la préparation se sont bien mieux passés que prévu, j'avais vraiment peur de la modélisation mais puisque le jury m'a posé les questions auxquelles on m'avait conseillé de me préparer, j'ai pu m'en sortir. La seule mauvaise surprise c'est le tableau tout pourri où il était vraiment difficile d'écrire de façon rapide et lisible.

Sujet du texte choisi : Débruitage d'un signal et optimisation.

Sujet de l'autre texte : Une équation aux dérivées partielles et de l'optimisation.

Un petit résumé du texte : Il s'agissait d'éliminer le bruit d'un signal capté dans le but de trouver le signal d'origine. Pour cela, on se ramenait à un problème d'optimisation dans $\mathbb{R}^n$ ( Le signal était une fonction connue en $n$ points). Le texte s'articulait ainsi : -Présentation du problème d'optimisation -Cas particulier d'un signal avec bruit pour lequel on montre que la solution du problème d'optimisation est le signal attendu -On se ramène à un problème d'optimisation régularisé -on montre que la solution du problème régularisé approche la solution du problème d'origine -Présentation de la méthode de gradient à pas fixe

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Voici le plan que j'ai présenté: I- Débruitage d'un signal 1. Le problème du bruit ( Dans cette partie, je faisais la modélisation et je présentais une simulation numérique pour expliquer quel était le but de l'exposé) 2. Un problème d'optimisation ( Je présentais le problème d'optimisation et je montre l'existence et l'unicité de la solution du problème) II- Problème régularisé 1. Régularisation du problème (Je présentais le problème régularisé et je montrais l'existence et l'unicité) 2. La méthode de gradient à pas fixe (Ici, je présentais la méthode de gradient et je montrais sa convergence. Je finissais la partie sur la présentation de simulation numérique pour illustrer la méthode et je montrais numériquement que la méthode est d'ordre 1) III- Approximation ( Dans cette dernière partie, je montrais que le problème régularisé approche le problème d'origine et j'illustrais ce fait par des simulations numériques)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) Alors qu'il me restait 2 minutes, j'ai décidé d'improviser une conclusion car je n'avais pas pris le temps d'y réfléchir. Je pense que ça aurait été mieux si j'avais pris 5 ou 10 minutes pour réfléchir à une bonne conclusion.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury m'a tout de suite mis en confiance et a été très agréable tout au long de l'oral. Celui-ci ressemblait plus à une discussion et je m'y sentais presque bien (C'est quand même un oral). J'ai senti qu'à chaque question, il cherchait à aller jusqu'au bout pour tester mes limites et tirer le meilleur de moi.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation il n'y a pas eu de surprise mis à part le tableau sur lequel il était très difficile d'écrire. La craie adhérait trop bien

Sujet du texte choisi : EDO / étude de stabilité des solutions

Sujet de l'autre texte : Optimisation / Méthode des gradients

Un petit résumé du texte : Le texte traitait les phénomènes d’évolution simultanée comme l’applaudissement d’une foule. Il était illustré avec l’évolution du pendule d’horloges accrochées à une base mobile. Dans le grand I) ça parlait du cas du pendule simple tout seul, il avait une petite étude, une modélisation après PFD et quelques propositions sur son évolution. Dans le II) il y avait l’étude avec deux pendules et une modélisation de leurs mouvements. La III) était sur la modélisation mathématique du phénomène d’évolution simultanée.

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Plan : I) Modélisation et étude du pendule seul II) Modélisation et étude de deux pendules liés Code : Des suites de quelques variations de paramètres pour le PFD appliqué au pendule seul (négligence de certaines forces) j'ai construit chacune des solutions avec la routine ODE. J'ai aussi construit les portraits de phase associés aux champs de vecteurs de mes EDO avec la routine fchamp. J'ai commencé un dernier programme que je n'ai pas eu le temps de terminer sur la partie II)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le jury était très attentif et intéressé.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation L'oral s'est très bien passé et je ne m'y attendais absolument pas j'appréhendais énormément l'oral d'option.

Sujet du texte choisi : EDO, EDP, différences finies, interpolation

Sujet de l'autre texte : methodes de gradient, algebre lineaire

Un petit résumé du texte : C'était sur les problèmes de contrôle : on prend un système différentiel (à une ou plusieurs variables) qui résulte d'équations de la physique (on impose une force sur un système), qui vérifie des propriété d'existence et unicité de solutions en fonction de la force et des conditions initiales. On fait le problème inverse : quelle force imposer pour arriver à un état final choisi en un temps donné. (je viens de voir que c'est principalement une réécriture du sujet du concours d'entrée à l'ENS Math C)

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) - prouver trois résultats du texte : un résultat de densité, un résultat d'existence/unicité à l'aide de formes linéaires, et un résultat de projection orthogonale - numérique : du matriciel (pour mon probleme de systeme lineaire), de la chaleur (explicite et implicite), et j'ai commencé mais non terminé le tracé des solutions au problème J'ai suivi le texte mais pas trop, et rajouté des maths.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...) je ne sais pas, être plus réactif en début des questions ?

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? 2 muets 2 enthousiastes

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation comme prévu

Sujet du texte choisi : un truc sur les différences finies qui est une modélisation d'un système physique

Sujet de l'autre texte : un truc sur les différences finies qui n'est pas une modélisation d'un système physique

Un petit résumé du texte :

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le niveau des questions ? Très variées entre débile et moyen. Certains m'ont totalement déstabilisées tellement c'était con, mais j'ai bien répondu. Un type dormait tout le temps et se réveillait de temps à autre pour dire des trucs bizarres puis se rendormait. Une femme qui a pas parlé, une question, j'ai été trop rapide, elle m'a regardé plus lentement, j'ai réexpliqué, elle était contente et les autres très sympas.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation Très bizarre, déjà seulement 40 minutes, je croyais 45, mais bon, un peu dépassé ils ont rien dit, le mec qui dort fin voilà ... C'est eux qui allume et éteignent le rétro qui est au centre du tableau, c'est pas un rétro à côté ni un écran individuel pour les profs et la question finale qui m'a laissé sans voix 'que garderiez vous si vous étiez professeur de terminal?' et fin, je lui ai expliqué que bon tu peux leur faire faire le schéma et voir que ça converge, mais bon vu que TOUT le reste, pourquoi ça converge, pourquoi tu prends ce schéma, pourquoi c'est intéressant, pourquoi la solution existe, fin je vois pas du tout l'intérêt ... Enfin au moins j'ai pas eu 'que faites vous si un élève vous frappe?', peut être demain Bref, malade comme un chien, stressé comme pas possible et des stupidités incroyables, mais ils ont été très sympa, fin ceux qui parlaient et ils ont passé du temps à tout expliquer c'était plutôt sympa et 4h c'était limite !

Sujet du texte choisi : B90

Sujet de l'autre texte : B87

Un petit résumé du texte :

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Le niveau des questions était facile (soit je l'avais déjà expliqué, soit c était du cours \"citez Cauchy Lipschitz et le lemme de sortie de tout compact\" soit c était des trucs qu ils avaient pas vu \" tu aurais du inverser la matrice avant la boucle\" (je l'avais fait...)). Quelques autres hors du lot. L'attitude du jury : je l'ai trouvé cassant, pas intéressé parce que je disais...

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation Même texte que charles, il l'a très bien décrit. Honnêtement j'ai eu l'impression de ne jamais avoir aussi bien réussi l'étude d'un texte. J'ai répondu correctement à toutes les questions, j'avais des animations, des graphes, des études de célérité au delà du texte, tout tournait correctement... Sur la présentation : j'arrive, ils voient mon nom et un dit \"ah un rémi, bravo\" (mon second nom), je dis que je ne l'aime pas trop, il devient froid d'un coup (\"vous venez de perdre les points que vous auriez gagné\")... Du coup je stresse un peu. J'écris avec mon écriture habituelle (je sais...), présente le problème, donne des explications qualitatives, des interprétations, ils commencent à faire la gueule... Je panique encore un peu, et fais une faute d'inattention (le t à la place du x sur la dérivée...). Ils le signalent, on continue. Ca me fait perdre du temps (ils n'ont pas arrêté le chrono pour l'interruption). Du coup je dois aller un peu plus vite, je me plante en mettant une matrice ou il faut pas (mais ma description orale ne laisse pas de doutes qu'il fallait la mettre a coté, puis un max au lieu d'un min \"vous pouvez faire attention pour une fois et mettre un min?\"), puis je décris mon animation. Je pense faire une bonne description qualitative. Sur la troisième partie je dois faire avec les mains faute de temps (c était un calcul, un système..) mais je montre mon animation, et j'explique pourquoi c'est bien. J'ouvre en suggérant des études de célérité des ondes progressives observées dans le cas général. Un peu trouble par moments, quelques secousses et pas ma meilleure présentation, mais globalement j'étais content. Visiblement pas eux. Ils sont revenus sur ce que j'ai fait, m'ont fait écrire tous les théorèmes (que j'avais cité), se sont plaint que j'aie fait les calculs d'une façon et pas d'une autre... Et au final je pense se fichaient totalement des descriptions que j'avais faites. Je n'ai aucune idée de la note qu'ils veulent me donner et je suis vraiment dégoûté d'avoir sué pour aller plus loin que le texte pour, semble t il, rien.

Sujet du texte choisi : B90

Sujet de l'autre texte : B87

Un petit résumé du texte :

Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...) Je résume d'abord mon plan puis les questions posées, j'espère être assez clair, mais c'est difficile. ---------------------------------------------------------------------------- I. Position du problème et modélisation A. Croissance exponentielle et suite logistique On s'intéressait à l'évolution d'une population au cours du temps. On introduisait d'abord le modèle à croissance de population constante $$\frac{du}{dt}=\alpha u(t) $$ où u est le nombre d'individus et \alpha le taux de croissance. Ceci mène à une solution exponentielle et donc non crédible. On peut alors prendre en compte plusieurs phénomènes : - la dépendance en âge, c'est-à-dire que des nouveaux nés n'auront pas le même taux de reproduction que de jeunes adultes par exemple - la dépendance en temps, c'est-à-dire que le taux de croissance peut dépendre du temps la reproduction est plus élevé au printemps. - les limitations du milieu, c'est-à-dire que si il y a trop de monde la population décroît car le milieu ne fournit pas assez de matériau pour subvenir au besoin de tous. On retient la dernière considération ce qui mène à l'équation logistique : $$\frac{du}{dt}=\alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} $$ où \alpha garde la même interprétation et \kappa est une population limite ou plutôt idéal. On pose $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} )$ J'ai ensuite écrit le théorème de Cauchy-Lipchitz proprement au tableau, et dis qu'on pouvait l'appliquer ici. Et on remarquer trois types de comportement : - solutions constantes - solutions croissantes comprises entre 0 et $\kappa$ - solutions décroissantes plus grandes que $\kappa$ Ainsi, notre interprétation de la constante $\kappa$ est en adéquation avec l'étude qualitative de l'équation différentielle. On pourrait prendre d'autres types de profil pour g, par exemple $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa}^2$: Ici nous ne prenons pas en compte, les déplacements de population, c'est ce que nous allons faire. B. Déplacement de population On fait l'hypothèse que la population se répartie le long d'une axe. Je n'ai pas établie l'équation faute de temps, mais j'ai dit que j'étais prêt à en parler à la fin de l'oral et qu'il faudrait faire un bilan de flux sur une tranche [x,x+dx] comme dans le cas de l'équation de la chaleur et utiliser une loi du type Fourier. On est amené à l'équation : $$ \frac{du}{dt}=\ u \frac{d^2 u}{dx^2} + g(u(x,t))$$ Même si je n'ai pas établie l'équation je donne l'interprétation des termes, c'est-à-dire que $\ u \frac{d^2 u}{dx^2}$ correspond à la diffusion et $g(u(x,t))$ à la création de population localement, ce qui apparaît nettement quand on fait le bilan. J'ai précisé qu'il fallait se fixer des conditions aux bords comme dans l'autre équation parabolique que je connaissais : l'équation de la chaleur. Ici on fixait la dérivée égale à 0 au bords ( on se plaçait sur un segment [-L,L] ) II. Différences finies A. Présentation et consistance du schéma J'ai expliqué que l'idée était de changer une équation différentielle en un problème discret et donc en un système linéaire à résoudre. Là, j'ai fait mes petits développements de Taylor pour montrer que le schéma choisi par le texte était d'ordre 2 en espace et 1 en temps ( on traitait en implicite le terme diffusif et en explicite le terme de création de population. (J'ai essayé d'être le plus clair possible vu le dernière oral que j'ai présenté) J'ai précisé que les conditions aux bords était d'ordre 2 en espace sans le démontrer. Donc le schéma au total était bien d'ordre 2 en espace et 1 en temps, donc consistant ce qui invitait à définir le schéma qui était dans le texte ( là j'ai renvoyé au texte où tout était posé sans réécrire) Il faut ensuite montrer que le schéma est bien définie, j'ai donc montrer que la matrice M qui définissait le schéma était symétrique définie positive. Là, il fallait montrer qu'une quantité du type $tV M V$ était strictement positive, si V était un vecteur non-nul. On a donc montré que le schéma était consistant et bien défini, mais il faut encore montrer la stabilité. B. Stabilité On convient de dire qu'un vecteur V est positif si toutes ses composantes sont positives. Là, on montre que $$ MV \ge 0 \Rightarrow V \ge 0 $$ par un argument sur le min des composantes de V. Là, j'avais préparé la démonstration pour montrer que cela impliquait que les termes du schéma était toujours compris entre 0 et 1, mais il m'a dit qu'il ne me restait plus que 10 minutes, donc j'ai dit qu'on allait passer aux applications numériques, mais qu'on pourrait reparler de cela à la fin. III. Applications numériques A. Vitesse On prend L=40, $\ u =1$, $\kappa=1$ Là, j'ai présenté mon schéma avec une condition initiale qui était concentrée en zéros, du type 0.8* cos(2*\pi x ) entre -10 et 10 et 0 sinon. L'animation montrait qu'il y avait diffusion sur les bords et au centre on allait rejoindre la population \"idéal\" $\kappa$, puis ensuite qu'il y avait diffusion quand 1 était atteint. Ensuite, j'ai présenté une animation avec la même condition initiale que précédemment et deux $\ u$, on voyait que sur les bords la courbe avec le plus grand $\ u$ \"allait plus vite\". On avait donc la bonne interprétation de $\ u$ dans le bilan du début. J'ai dit que cela pouvait être utile pour calculer la vitesse de propagation du population d'animaux sauvages, etc. B. Ondes progressives Le texte montrait qu'il existait une onde se déplaçant en tanh(c(x-\lambda*t)) pour des c et \lambda convenables , j'ai montré mes graphes avec encore une animation, où l'on voyait la solution exacte et le schéma. Là il m'a dit qu'il fallait conclure. C. Ordre J'ai juste dit que mon dernier programme avait pas marché, mais que je voulais mettre en évidence l'ordre du schéma à partir de l'onde progressive qu'on avait calculer, et que normalement on devrait se retrouver avec une cassure quand le pas de temps devenait assez petit, car comme l'ordre est de 2 en espace, c'est inutile de calculer au bout d'une moment, car on ne gagne plus en précision.

Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ? Attitude : assez cassant au début mais décontracté vers la fin.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation