143 - Résultant. Applications.2016
Rapport du jury 2015
Le caractère entier du résultant (il se définit sur Z ) doit être mis en valeur et appliqué. La partie application doit montrer la diversité du domaine (par exemple en arithmétique, calcul d'intersection/élimination, calcul différentiel, polynômes annulateurs d'entiers algébriques).Il ne faut pas perdre de vue l'application linéaire sous-jacente$(U,V) \longmapsto AU + BV$ qui lie le résultant et le pgcd de $A$ et $B$.
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Utilisateur : Victor
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Utilisateur : Promo ENSL 2016
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Retours
Utilisateur : Admin
| Année : 2015
Leçon choisie : 684
Autre leçon :
Applications des nombres complexes à la géométrie.2019
Développement choisi par le jury :
Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)
Autre développement proposé :
Pas de réponse fournie.
Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Quelques explications sur le développement, des questions sur le plan, des exos. Dans l'ordre. Sur le développement quelques explications qui n'étaient pas clair pour le jury. Sur le plan : j'ai mis que le corps des nombres algébriques était un corps sans mettre d'où le résultant apparaît. Ils m'ont donc demander d'expliquer. (Sol : $Res_T ( P(X- T) , Q(X) )$ Sur le théorème de Bézout : Est ce que vous connaissez une généralisation ? J'ai répondu qu'on peut généraliser au plan projectif à l'aide de la théorie de la multiplicativité des points d'intersection et qu'il y avait égalité dans l'inégalité du théorème faible de Bézout. Ça leur a suffit. Application : trouver les points d'intersection de $X^2 + YX + Y^2 - 1 = 0$ et $2X^2 + Y^2 - .. = 0$ un truc du genre. Sol : on fait le résultant en $Y$ on solve en $X$ on $x = 1$ ou $-1$ et on en déduit les points d'intersection. Sur le discriminant (qui est dans le plan) : connaissez vous un lien entre le discriminant d'un polynôme de degré $3$. On montre que le signe du résultant permet de dire s'il y a 3 racines réelles. Je n'ai pas eu à faire les calculs en entier. Sur le discriminant. Calculer le discriminant de $P(X) = X^n + aX + b$. Sol : par la formule avec le reste de la division de $P$ par $P'$. Pareil, ils ne m'ont pas demandé de finir les calculs. Est ce que vous connaissez un critère sur $P \in \mathbb{Q}(X)$ pour que son groupe de Galois soit dans $\mathfrak{U}_n$ + des questions sur le groupe de Galois. Je n'ai pas fini la question.
Quelques explications sur le développement, des questions sur le plan, des exos. Dans l'ordre. Sur le développement quelques explications qui n'étaient pas clair pour le jury. Sur le plan : j'ai mis que le corps des nombres algébriques était un corps sans mettre d'où le résultant apparaît. Ils m'ont donc demander d'expliquer. (Sol : $Res_T ( P(X- T) , Q(X) )$ Sur le théorème de Bézout : Est ce que vous connaissez une généralisation ? J'ai répondu qu'on peut généraliser au plan projectif à l'aide de la théorie de la multiplicativité des points d'intersection et qu'il y avait égalité dans l'inégalité du théorème faible de Bézout. Ça leur a suffit. Application : trouver les points d'intersection de $X^2 + YX + Y^2 - 1 = 0$ et $2X^2 + Y^2 - .. = 0$ un truc du genre. Sol : on fait le résultant en $Y$ on solve en $X$ on $x = 1$ ou $-1$ et on en déduit les points d'intersection. Sur le discriminant (qui est dans le plan) : connaissez vous un lien entre le discriminant d'un polynôme de degré $3$. On montre que le signe du résultant permet de dire s'il y a 3 racines réelles. Je n'ai pas eu à faire les calculs en entier. Sur le discriminant. Calculer le discriminant de $P(X) = X^n + aX + b$. Sol : par la formule avec le reste de la division de $P$ par $P'$. Pareil, ils ne m'ont pas demandé de finir les calculs. Est ce que vous connaissez un critère sur $P \in \mathbb{Q}(X)$ pour que son groupe de Galois soit dans $\mathfrak{U}_n$ + des questions sur le groupe de Galois. Je n'ai pas fini la question.
Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Le jury était plutôt sympa mais surtout enclin à éviter TOUT calcul. En gros je leur disais juste comment il fallait faire.
Le jury était plutôt sympa mais surtout enclin à éviter TOUT calcul. En gros je leur disais juste comment il fallait faire.
L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
gros stress au début parce que je savais pas quoi choisir comme sujet. Puis gros stress parce qu'une fois la leçon choisie il y a un sardanapale qui a pris LE Apéry pour faire la leçon 142 ! et il n'y en avait pas d'autre dans toutes les autres malles. Au final j'ai sorti les définitions de résultant de tête et c'est (peut-être) passé parce que je n'ai pas eu de questions reloues à ce niveau là. Du bruit durant la préparation.
gros stress au début parce que je savais pas quoi choisir comme sujet. Puis gros stress parce qu'une fois la leçon choisie il y a un sardanapale qui a pris LE Apéry pour faire la leçon 142 ! et il n'y en avait pas d'autre dans toutes les autres malles. Au final j'ai sorti les définitions de résultant de tête et c'est (peut-être) passé parce que je n'ai pas eu de questions reloues à ce niveau là. Du bruit durant la préparation.
Note obtenue :
17.25
Références: