Leçon #1543
Actif : true
Numero : 236
Titre : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2015
Dans cette leçon, il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples. On peut aussi penser à l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Le calcul du volume de la boule unité de $\mathbb{R}^n$ ne devrait pas poser de problèmes insurmontables.
Dans cette leçon, il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples. On peut aussi penser à l'utilisation du théorème d'inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Le calcul du volume de la boule unité de $\mathbb{R}^n$ ne devrait pas poser de problèmes insurmontables.
Rapport du jury 2016
Cette leçon doit être très riche en exemples simples, comme l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$. Il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les \rintégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon.\r\rOn peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales.
Cette leçon doit être très riche en exemples simples, comme l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$. Il est souhaitable de présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les \rintégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon.\r\rOn peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier ou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales.
Rapport du jury 2017
Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. \r\rOn peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier\rou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales.\r\rEnfin, il est aussi possible d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.).
Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus, ainsi que des exemples faisant intervenir les intégrales multiples comme le calcul de l’intégrale d’une gaussienne. Le calcul du volume de la boule unité de $R^n$ ne doit pas poser de problèmes insurmontables. Le calcul de la transformation de Fourier d’une gaussienne a sa place dans cette leçon. \r\rOn peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion de Fourier\rou du théorème de Plancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales.\r\rEnfin, il est aussi possible d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.).
Rapport du jury 2019
Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). Trop de candidats manquent d’aisance avec le calcul d’intégrales multiples. Le calcul de l’intégrale d’une gaussienne sur $\textbf{R}^n$ ou le calcul du volume de la boule unité de $\textbf{R}^n$ ne devraient pas poser de problèmes insurmontables. Le programme du concours indique que la formule d’intégration par parties multi-dimensionnelle qui relie intégrale de volume et intégrale de surface est admise ; il ne faut pas hésiter à l’exploiter et à l’illustrer par des exemples. On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus. $\\$ On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion deFourierou du théorème dePlancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales. $\\$ Enfin, il est tout à fait pertinent d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.), une piste qui mériterait d’être davantage explorée.
Cette leçon doit être très riche en exemples, que ce soit l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}dt$ ou bien d’autres encore. Il est tout à fait pertinent de commencer par les différentes techniques élémentaires (intégration par parties, changement de variables, décomposition en éléments simples, intégrale à paramètres,...). Trop de candidats manquent d’aisance avec le calcul d’intégrales multiples. Le calcul de l’intégrale d’une gaussienne sur $\textbf{R}^n$ ou le calcul du volume de la boule unité de $\textbf{R}^n$ ne devraient pas poser de problèmes insurmontables. Le programme du concours indique que la formule d’intégration par parties multi-dimensionnelle qui relie intégrale de volume et intégrale de surface est admise ; il ne faut pas hésiter à l’exploiter et à l’illustrer par des exemples. On peut également présenter des utilisations du théorème des résidus. $\\$ On peut aussi penser à l’utilisation du théorème d’inversion deFourierou du théorème dePlancherel. Certains éléments de la leçon précédente, comme par exemple l’utilisation des théorèmes de convergence monotone, de convergence dominée et/ou de Fubini, sont aussi des outils permettant le calcul de certaines intégrales. $\\$ Enfin, il est tout à fait pertinent d’évoquer les méthodes de calcul approché d’intégrales (méthodes des rectangles, méthode de Monte-Carlo, etc.), une piste qui mériterait d’être davantage explorée.
Rapport du jury 2022
Les exemples proposés par les candidats pourront cette leçon devront mettre en oeuvre des techniques diversifiées : méthodes élémentaires, intégrales dépendant d'un paramètre, utilisation de la formule des résidus, de sommes de Riemann, voire de la transformée de Fourier dans $L^1(R)$ ou $L^2(R)$.\r\rIl est attendu des candidats qu'ils proposent quelques exemples significatifs de calculs d'intégrales multiples (utilisation du théorème de Fubini, de changements de variables, de la formule de Green-Riemann, etc.).\rPour éviter de donner à la leçon un tour trop \"académique\", les candidats pourront également proposer des résultats dont la preuve utilise un calcul d'intégrale, comme par exemple (purement indicatif) celle du théorème d'inversion de Fourier utilisant la transformée de Fourier d'une gaussienne.\r\rIl est enfin loisible de proposer quelques méthodes de calcul approché d'intégrales. La théorie des probabilités fournit également un champ d'applications fertile.
Les exemples proposés par les candidats pourront cette leçon devront mettre en oeuvre des techniques diversifiées : méthodes élémentaires, intégrales dépendant d'un paramètre, utilisation de la formule des résidus, de sommes de Riemann, voire de la transformée de Fourier dans $L^1(R)$ ou $L^2(R)$.\r\rIl est attendu des candidats qu'ils proposent quelques exemples significatifs de calculs d'intégrales multiples (utilisation du théorème de Fubini, de changements de variables, de la formule de Green-Riemann, etc.).\rPour éviter de donner à la leçon un tour trop \"académique\", les candidats pourront également proposer des résultats dont la preuve utilise un calcul d'intégrale, comme par exemple (purement indicatif) celle du théorème d'inversion de Fourier utilisant la transformée de Fourier d'une gaussienne.\r\rIl est enfin loisible de proposer quelques méthodes de calcul approché d'intégrales. La théorie des probabilités fournit également un champ d'applications fertile.