Leçon #1544
Actif : true
Numero : 239
Titre : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Cette leçon doit être enrichie par des études et méthodes asymptotiques et les transformations classiques (Fourier, Laplace, etc.). \r
Cette leçon doit être enrichie par des études et méthodes asymptotiques et les transformations classiques (Fourier, Laplace, etc.). \r
Rapport du jury 2015
Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, ...) relèvent aussi de cette leçon.
Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, ...) relèvent aussi de cette leçon.
Rapport du jury 2016
Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version “convergence dominée”) ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (il sera de bon ton d’y inclure le comportement asymptotique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, . . .) relèvent aussi de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple). \r\rPour aller plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment Fourier), ainsi que de la convolution.
Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version “convergence dominée”) ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (il sera de bon ton d’y inclure le comportement asymptotique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace, . . .) relèvent aussi de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple). \r\rPour aller plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment Fourier), ainsi que de la convolution.
Rapport du jury 2017
Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version « convergence dominée ») ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (on pourra y inclure le comportement asymptotique, voire son prolongement analytique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace,... ) relèvent aussi naturellement de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple). Le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale est trop peu souvent cité. \r\rPour aller encore plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment la transformée de Fourier, par exemple en s’attardant sur le lien entre régularité de la fonction et décroissance de sa transformée de Fourier), ainsi que de la convolution.
Souvent les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version « convergence dominée ») ce qui est pertinent. Cette leçon peut être enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard (on pourra y inclure le comportement asymptotique, voire son prolongement analytique). Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace,... ) relèvent aussi naturellement de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale de Dirichlet par exemple). Le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale est trop peu souvent cité. \r\rPour aller encore plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment la transformée de Fourier, par exemple en s’attardant sur le lien entre régularité de la fonction et décroissance de sa transformée de Fourier), ainsi que de la convolution.
Rapport du jury 2019
Les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version « convergence dominée ») ce qui est pertinent mais la leçon ne doit pas se réduire seulement à cela. Cette leçon doit être riche en exemples, ce qui parfois n’est pas suffisamment le cas. Elle peut être encore enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard, mais non sans risque (on pourra y inclure le comportement asymptotique, voire son prolongement analytique) ; certains candidats sont trop ambitieux pour le temps dont ils disposent. Le jury invite donc à bien préciser ce que le candidat souhaite montrer pendant son développement. Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace,... ) relèvent aussi naturellement de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale deDirichletparexemple). Le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale est trop peu souvent cité. $\\$ Pour aller encore plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment la transformée de Fourier, par exemple en s’attardant sur le lien entre régularité de la fonction et décroissance de sa transformée de Fourier), ainsi que de la convolution.
Les candidats incluent les théorèmes de régularité (version segment — a minima — mais aussi version « convergence dominée ») ce qui est pertinent mais la leçon ne doit pas se réduire seulement à cela. Cette leçon doit être riche en exemples, ce qui parfois n’est pas suffisamment le cas. Elle peut être encore enrichie par des études et méthodes de comportements asymptotiques. Les propriétés de la fonction $\Gamma$ d’Euler fournissent un développement standard, mais non sans risque (on pourra y inclure le comportement asymptotique, voire son prolongement analytique) ; certains candidats sont trop ambitieux pour le temps dont ils disposent. Le jury invite donc à bien préciser ce que le candidat souhaite montrer pendant son développement. Les différentes transformations classiques (Fourier, Laplace,... ) relèvent aussi naturellement de cette leçon. On peut en donner des applications pour obtenir la valeur d’intégrales classiques (celle de l’intégrale deDirichletparexemple). Le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale est trop peu souvent cité. $\\$ Pour aller encore plus loin, on peut par exemple développer les propriétés des transformations mentionnées (notamment la transformée de Fourier, par exemple en s’attardant sur le lien entre régularité de la fonction et décroissance de sa transformée de Fourier), ainsi que de la convolution.
Rapport du jury 2022
Le programme fournit aux candidats de multiples pistes pour élaborer leur plan : théorèmes usuels bien sûr (incluant celui d'holomorphie sous le signe somme) et qui devront absolument être illustrés par des exemples significatifs, transformée de Fourier, convolution. \r\rLes candidats pourront également s'intéresser à la transformée de Laplace ou à certaines fonctions \"spéciales\" définies par une intégrale, ou proposer des études asymptotiques de fonctions définies par des intégrales.\r\rEnfin, la notion de fonction caractéristique en probabilités a toute sa place dans cette leçon et fournit un riche champ d'applications.\r\rLes candidats aguerris pourront s'intéresser aux théorèmes taubériens relatifs à la transformée de Fourier ou de Laplace.
Le programme fournit aux candidats de multiples pistes pour élaborer leur plan : théorèmes usuels bien sûr (incluant celui d'holomorphie sous le signe somme) et qui devront absolument être illustrés par des exemples significatifs, transformée de Fourier, convolution. \r\rLes candidats pourront également s'intéresser à la transformée de Laplace ou à certaines fonctions \"spéciales\" définies par une intégrale, ou proposer des études asymptotiques de fonctions définies par des intégrales.\r\rEnfin, la notion de fonction caractéristique en probabilités a toute sa place dans cette leçon et fournit un riche champ d'applications.\r\rLes candidats aguerris pourront s'intéresser aux théorèmes taubériens relatifs à la transformée de Fourier ou de Laplace.